История

Натуральные числа и различные системы для их обозначения использовались еще в древних цивилизациях: Древнем Междуречье, Древнем Египте, Древнем Китае, в племенах Майя. Понятие числа «ноль», по видимому, появилось позже понятия натуральных чисел в позднем Вавилоне и у Майя.

Замечание 1

В самые древние времена для счета использовали палочки. Такой способ записи сохранился в римском исчислении. Число при такой записи представляло собой сумму или разность палочек, которая была записана без каких-либо знаков.

С развитием систем счисления определенные числа стали обозначать буквами алфавита. В современных системах счисления значение каждой цифры числа определяет ее место в записи числа. Первой такой системой счисления была вавилонская (шестидесятеричная) и индийская (десятичная).

Вариантом индийской десятичной системой счисления является современная арабская система с тем различием, что в индийской системе отсутствовал ноль. Цифру $0$ придумали арабы, после чего система счисления приняла современный вид.

Для счисления времени используется шестидесятеричная система (за основу взято число $60$): $1$ час содержит $60$ минут, $1$ минута -- $60$ секунд.

В работах математика Пьера де Ферма были положены основы теории чисел или высшей арифметики как отдельной науки, которая изучает чистые, формальные свойства натуральных чисел.

Натуральные числа. Множество натуральных чисел

Натуральные числа $1, 2, 3, \dots$ используются для счёта (одна груша, две груши, три груши и т.д.) или для указания поряд кового номера предмета среди ему подобных.

Натуральные числа принято записывать с помощью арабских цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Рисунок 1.

Определение 1

Натуральные числа (или естественные числа) -- числа, которые возникают естественным образом при подсчете чего-либо.

Пример 1

Натуральными будут числа: $3, 48, 157, 1089, 25556$.

Если выстроить все натуральные числа в порядке их возрастания, то получим натуральный ряд .

Для определения натуральных чисел существует два подхода:

Числа, которые возникают при подсчете (нумерации) предметов (например, первый, второй и т.д.).

Числа, которые используют для обозначения количества предметов (нет стула, один стул, два стула и т.д.).

При первом подходе натуральный ряд начинается с единицы, при втором -- с нуля.

Математики не пришли к единому выводу считать ли ноль натуральным числом. В большинстве российских источников традиционным является первый подход. Второй подход широко используется в программировании (например, при индексации массивов, нумерации битов машинного кода и т.д.).

Замечание 2

К натуральным числам не относятся ни отрицательные, ни нецелые числа.

Определение 2

Множество всех натуральных чисел обозначается $N=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots ,\ n,\ \dots \right\}$ и характеризуется своей бесконечностью, т.к. для любого натурального числа $n$ существует натуральное число, которое будет большее $n$.

Пример 2

Какие из чисел являются натуральными?

\[-6;\ \ 5;\ \ 0,6;\ \ \ \frac{1}{2};\ \ \ \sqrt{5};\ \ 38;\ \ \ -38;\ \ 12,5;\ \ 4.\]

Ответ: $5;\ \ 38;\ \ \ 4.$

При формулировке и доказательстве многих теорем арифметики натуральных чисел удобно использовать и ноль, поэтому при первом подходе применяется понятие расширенного множества натуральных чисел , которое содержит ноль и обозначается $N_0$ или $Z_0$.

Ноль как натуральное число

В русской литературе принято исключать нуль из числа натуральных чисел ($0\notin N$), а множество натуральных чисел с нулём обозначают $N_0$.

В международной математической литературе множество $\left\{1,\ \ 2,\ \ 3,\ \dots \right\}$ принято называть множеством положительных целых чисел и обозначать $Z+$. Множество $\left\{0,\ \ 1,\ \ 2,\ \dots \right\}$ принято называть множеством неотрицательных целых чисел и обозначать $Z{\ge 0}$.

Разбить число справа налево на группы из $3$ цифр.

Название класса пропускают, если в группе цифр все нули.

Рисунок 2.

Каждую цифру класса называют разрядом класса .

Меньшим натуральным числом является то, которое при проведении подсчета используется раньше. Например, число $9$ меньше $20$ (записывается $9 55$.

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Множество $N$ будем называть множеством натуральных чисел , если зафиксирован некоторый элемент единица $1\in N$ и функция следования $S:N\to N$ так, что выполнены следующие условия:

$1\in N$: единица является натуральным числом.

Если $x\in N$, то $S\left(x\right)\in N$: Если число -- натуральное, то следующее число за ним тоже натуральное}.

$\nexists x\in N\ \left(S\left(x\right)=1\right)$: Не существует натурального числа, которое находится перед единицей}.

Если $S\left(b\right)=a$ и $S\left(c\right)=a$, тогда $b=c$: Если натуральное число $a$ следует за числом $b$ и за числом $c$, то $b=c$.

Аксиома индукции. Пусть $P\left(n\right)$ -- некоторый одноместный предикат, который зависит от натурального числа $n$. Тогда:

Если $P\left(1\right)$ и $\forall n\left(P\left(n\right)\Longrightarrow P\left(S\left(n\right)\right)\right)$, то $\forall n\ P\left(n\right)$:

Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=1$ и для любого $n$ из истинности $P\left(n\right)$ следует истинность $P\left(n+1\right)$, то $P\left(n\right)$ верно для любого натурального $n$.

Все аксиомы отражают представление о натуральном ряде и числовой линии.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге--Рассела)

По теории множеств единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, исходя из понятия множества натуральные числа вводятся по двум правилам:

• $0=\emptyset $

$S\left(n\right)=n\cup \left\{n\right\}$

Заданные таким образом числа называются порядковыми или ординальными.

Описываются первые порядковые числа и натуральные числа, которые им соответствуют, следующим образом:

• $1=\left\{0\right\}=\left\{\emptyset \right\}$

  $2=\left\{0,\ \ 1\right\}=\left\{\emptyset ,\ \ \left\{\emptyset \right\}\right\}$

  $3=\left\{0,\ \ 1,\ \ 2\right\}=\left\{\emptyset ,\ \ \left\{\emptyset \right\},\ \ \left\{\emptyset ,\ \ \left\{\emptyset \right\}\right\}\right\}$

Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .

Таблица разрядов и классов чисел.

С чего начинается изучение математики? Да, правильно, с изучения натуральных чисел и действий с ними. Натуральные числа (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) — числа , возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом .

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

1. подсчете (нумерации) предметов (первый , второй , третий , четвёртый , пятый"…);
2. натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов ).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств .

Отрицательные и нецелые ( рациональные , вещественные ,…) числа к натуральным не относят.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётся натуральное число, большее чем n.

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N 0 или Z 0 .

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
• умножение: множитель × множитель = произведение;
• возведение в степень: a b , где a — основание степени, b — показатель степени. Если a и b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

• вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом)
• деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*r+b, причём 0<=r

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности,

Поэтому натуральные числа начинаются с единицы, а наименьшим из них является число 1. Отсюда следует, что нуль не является натуральным числом. Натуральные числа нужны для счета. Нулями никто не считает. Что касается России, то у нас общепринято, что ноль не является натуральным числом, так как при счёте он не используется. Самое мало число натуральное — это единица.

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Эти числа выражают меры конечного количества отдельных объектов, а также выражают порядок равномерного однонаправленного счёта (каждое натуральное число имеет «свое» место - уникальный номер). В российской математической литературе ноль обычно в множество натуральных чисел не включают. Натуральные числа вполне упорядочены: в любом их подмножестве будет минимальный элемент. Уже у целых чисел такое определение нарушается ровно в «другой половине случаев», когда вычитается отрицательное, давая число, большее первого.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой.

Нулем в том плане что не содержит информации. 0 1 есть один бит информации.

Понятие натурального числа в математике - одно из основных. Какие числа называются натуральными? Первые натуральные числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 и т.д.

При счёте число ноль не используется. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Единицы 5-го класса - триллионы, 6-го класса - квадриллионы, 7-го класса - квинтиллионы, 8-го класса - секстиллионы, 9-го класса - ептиллионы.

Пройти ноль километров – значит не сдвинуться с места. Бежать со скоростью ноль километров в час, значит стоять на месте. Да, вообще, ноль трудностей не вызывает. Прибавить или отнять ноль – это значит ничего не прибавит и ничего не отнять.

Большой толковый словарь Кузнецова (2009) приводит обе формы: ноль, нуль - как равнозначные.

Связано это с тем, что функция двух переменных в точке имеет неустранимый разрыв.

План работы: Найти в словаре, что такое «число». 2. Самый низкий, дурной балл (дореволюц. Для вас, быть может, он ничтожество, нуль. Чехов. Два ноля (разг. шутл.) — уборная. Словарь Даля. Нуль — м. ноль; счислительный знак, означающий ничто, ничего (0); но поставленный после другой цифры (справа), повышает ее десятью, умножает на десять.

Принадлежность к натуральным числам

Если кто-то считает, что нуль принадлежит к натуральным числам, ничего страшного. Если число рассыпается на единички без шума и пыли, такое число является натуральным. Может ли дробное число быть натуральным? Это математика для блондинок и должно быть а) точно, б) доступно. В России ноль обычно не входит во множество натуральный чисел, если это не оговорено отдельно. Уже в древности к числам отнесли 0.Но 0 – не число. 0 – отсутствие числа, и не только, а Всего-Всего. Просто в математике используют 0 как число по логике математики, потому что всякий результат математического действия может приниматься за число, и обращаться с ним можно как с числом.

А вообще, этот вопрос не стоит выеденного яйца: это всего лишь тонкости терминологии. Интересно. И для кого это логично с нуля-то считать?

Коммутативность умножения.

Отсутствие какого-либо количества, пустота, начало и бесконечность — философское отношение к этим понятиям было различным в разные эпохи, в разных системах миропонимания. Такие системы называются позиционными – значение цифр при записи чисел определяется их позицией или разрядом. Поэтому современный смысл вопроса «каким числом является 0″ был недостижим для Архимеда, Пифагора или Евклида, хотя похожий на ноль символ встречается в таблицах великого астронома Птолемея. Поэтому ноль в уравнениях древнеиндийских ученых окончательно стал не только символом отсутствия единиц в соответствующем разряде, но и натуральным числом, влияющим на результат вычислений. Само написание цифр от 1 до 0 обрело окончательный вид тоже благодаря древнеиндийским математическим трактатам, и те символы, что в Европе принято называть арабскими, сами арабы называют индийскими.

Натуральный ряд построен так, что каждое следующее число на 1 (единицу) больше предыдущего. Натуральный ряд чисел можно легко представить визуально. Для этого пройдите на страницу «Таблица натуральных чисел», где представлены натуральные числа от 1 (одного) до 120 (ста двадцати). Если для пересчета добавить пальцы ног, руки и ноги соседей, то получится очень большое количество чисел, и все эти числа будут натуральными. Почему отрицательные числа не принадлежат к натуральным?

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом (от лат.naturalis - естественный). Это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Одним из преимуществ натурального нуля является то, что при этом образует полугруппу с единицей. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Если a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} - натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г., он имеет вид привычного нам кружочка. В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число».

Натуральными именуют числа, применяемые при счете (нумерации, перечислении) предметов. Другими словами, это целые положительные числа. Отрицательные и нецелые числа - к натуральным не относятся.

Натуральный ряд чисел конструируется на базе исходного натурального числа, именуемого единицей (обозначение "1") и операции перехода к последующему. Эта операция применима к хоть какому натуральному числу, а ее итог считается натуральным числом, последующим за начальным.

Для хоть какого натурального числа существует только одно последующее. Единица является минимальным натуральным числом, так как нет подобного натурального числа, для которого она была бы последующим. Большего натурального числа не существует, так как для хоть какого натурального числа есть возможность выстроить последующее. Формально структура огромного количества натуральных чисел задается пятью аксиомами Пеано.

Меж математиками есть расхождение по вопросу о том, какое число считать минимальным в натуральном ряду. Во французской традиции, восходящей к работам Н.Бурбаки, в отличие от других математических школ натуральными принято считать числа, выражающие количество предметов в группе. Потому в этой традиции минимальным натуральным числом считается ноль ("0"), а не единица, и, соотвественно, французские арифметики, в отличие от других, признают ноль натуральным числом. Таковой подход мотивирован также теоретико-множественной моделью натурального ряда, в какой ноль отождествляется с пустым обилием (Ø), а операция перехода к последующему - с образованием огромного количества, состоящего из всех предыдущих натуральных чисел (представленных огромными количествами):

2 ≡ {Ø, {Ø}}

3 ≡ {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}

4 ≡ {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}

Необходимо подчеркнуть, что при таком построении каждое натуральное число совпадает с мощностью соответственного ему огромного количества.

Порядок. На огромном количестве натуральных чисел определено отношение порядка «меньше», обозначаемое эмблемой «Сложение. На базе операции перехода к последующему определяется операция сложения, обозначаемая эмблемой «+». Суммой M+N 2-ух натуральных чисел M и N именуется число K, получаемое из числа M в итоге N-кратного внедрения операции перехода к последующему. Сумма 2-ух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

Вычитание. На базе операции сложения определяется операция вычитания, обозначаемая эмблемой «-». Разностью M-N именуется такое число K, которое при прибавлении к N дает M. Разность существует не для каких угодно натуральных чисел M и N, а только для подобных, которые связаны отношением «меньше»: N

Умножение. На базе операции сложения на огромном количестве натуральных чисел вводится операция умножения, обозначаемая эмблемой «·». Произведением M·N 2-ух натуральных чисел M и N именуется число K, получаемое из числа M в итоге (N-1)-кратного добавления к нему числа M. Произведение каких угодно 2-ух натуральных чисел является натуральным числом.

Деление. На базе операции умножения определяется операция деления, обозначаемая эмблемой «/». Личным M/N 2-ух натуральных чисел M и N именуется такое число K, которое при умножении на N дает M. Далековато не для хоть какой пары натуральных чисел существует натуральное личное. В тех случаях, когда оно существует, говорят, что два натуральных числа делятся друг на друга.

Источники:

Дополнительно в базе данных сайта: