Инструкция

Способ подстановкиВыразите одну переменную и подставте ее в другое уравнение. Выражать можно любую переменную по вашему усмотрению. Например, выразите «у из второго уравнения:
х-у=2 => у=х-2Затем подставьте все в первое уравнение:
2х+(х-2)=10Перенесите все без «х в правую часть и подсчитайте:
2х+х=10+2
3х=12 Далее, чтобы «х, разделите обе части уравнения на 3:
х=4.Итак, вы нашли «х. Найдите «у. Для этого подставьте «х в то уравнение, из которого вы выразили «у:
у=х-2=4-2=2
у=2.

Сделайте проверку. Для этого подставьте получившиеся значения в уравнения:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестные найдены верно!

Способ сложения или вычитания уравненийИзбавьтесь сразу от -нибудь перемененной. В нашем случае это проще сделать с «у.
Так как в «у со знаком «+ , а во втором «- , то вы можете выполнить операцию сложения, т.е. левую часть складываем с левой, а правую с правой:
2х+у+(х-у)=10+2Преобразуйте:
2х+у+х-у=10+2
3х=12
х=4Подставьте «х в любое уравнение и найдите «у:
2*4+у=10
8+у=10
у=10-8
у=2По 1-ому способу можете , что найдены верно.

Если нет четко выраженных переменных, то необходимо немного преобразовать уравнения.
В первом уравнении имеем «2х, а во втором просто «х. Для того, чтобы при сложении или «х сократился, второе уравнение умножьте на 2:
х-у=2
2х-2у=4Затем вычтите из первого уравнения второе:
2х+у-(2х-2у)=10-4Заметим, если перед скобкой стоит минус, то после раскрытия поменяйте на противоположные:
2х+у-2х+2у=6
3у=6
у=2«х найдите, выразив из любого уравнения, т.е.
х=4

Видео по теме

Совет 2: Как решать линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение , в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными . Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.

Вам понадобится

• - линейное уравнение с двумя переменными;
• - второе уравнение или дополнительные условия.

Инструкция

Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.

Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.

Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут задачи.

Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.

Источники:

• как решить уравнение с одной переменной

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.

Вам понадобится

• - система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Инструкция

Если два из трех системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с неизвестной. Если это , дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.

Некоторые системы уравнений можно вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из на или переменную так, чтобы сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.

Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными . Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, матрице свободных членов, то есть А*Х=В.

Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав , обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.

Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Источники:

• решений уравнений с тремя неизвестными

Решение системы уравнений сложно и увлекательно. Чем сложнее система, тем интереснее ее решать. Чаще всего в математике средней школы встречаются системы уравнений с двумя неизвестными, но в высшей математике переменных может быть и больше. Решать системы можно несколькими методами.

Инструкция

Самый распространенный метод решения системы уравнений - это подстановка. Для этого необходимо выразить одну переменную через другую и подставить ее во второе уравнение системы, таким образом приведя уравнение к одной переменной. Например, дана уравнений:2х-3у-1=0;х+у-3=0.

Из второго выражения удобно выразить одну из переменных, перенеся все остальное в правую часть выражения, не забыв при этом сменить знак коэффициента:х=3-у.

Раскрываем скобки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Полученное значение у подставляем в выражение:х=3-у;х=3-1;х=2.

В первом выражении все члены 2, можно вынести 2 за скобку распределительному свойству умножения:2*(2х-у-3)=0. Теперь обе части выражения можно сократить на это число, а затем выразить у, так как коэффициент по модулю при нем равен единице:-у=3-2х или у=2х-3.

Так же, как и в первом случае, подставляем данное выражение во второе уравнение и получаем:3х+2*(2х-3)-8=0;3х+4х-6-8=0;7х-14=0;7х=14;х=2.Подставляем полученное значение в выражение: у=2х-3;у=4-3=1.

Мы видим, что коэффициент при у одинаков по значению, но различен по знаку, следовательно, если мы сложим данные уравнения, то вовсе избавимся от у:4х+3х-2у+2у-6-8=0;7х-14=0;х=2.Подставляем значение х в любое из двух уравнений системы и получаем у=1.

Видео по теме

Биквадратное уравнение представляет собой уравнение четвертой степени, общий вид которого представляется выражением ax^4 + bx^2 + c = 0. Его решение основано на применении метода подстановки неизвестных. В данном случае х^2 заменяется другой переменной. Таким образом, в итоге получается обычное квадратное уравнение , которое и требуется решить.

Инструкция

Решите квадратное уравнение , получившееся в результате замены. Для этого сначала посчитаем значение в соответствии с формулой: D = b^2 ? 4ac. При этом переменные a, b, c являются коэффициентами нашего уравнения.

Найдите корни биквадратного уравнения. Для этого возьмите корень квадратный из полученных решений . Если решение было одно, то будет два – положительное и отрицательное значение корня квадратного. Если решений было два, у биквадратного уравнения будет четыре корня.

Видео по теме

Одним из классических способов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных, когда система уравнений с помощью простых преобразований переводится в ступенчатую систему, из которой последовательно находятся все переменные, начиная с последних.

Инструкция

Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z - после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода уравнений

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки . При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end{array} \right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\{ \begin{array}{l} y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end{array} \right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) - решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными . Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x=33 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \(x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \(11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \(x=11; y=-9 \) или \((11; -9) \)

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач

В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными , но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.

Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?

Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.

Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.

Уравнение с двумя неизвестными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение x 2 + 5y 2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);

б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

в) не иметь решений. Например, уравнение x 2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.

Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.

Разложение на множители

Пример 1.

Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.

Решение.

Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:

y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.

Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Равенство нулю неотрицательных чисел

Пример 2.

Решить уравнение: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Решение.

Группируем:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.

А значит, x = 2/3 и y = 3/2.

Ответ: (2/3; 3/2).

Оценочный метод

Пример 3.

Решить уравнение: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Решение.

В каждой скобке выделим полный квадрат:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Оценим значение выражений, стоящих в скобках.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:

(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y – 2) 2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.

Ответ: (-1; 2).

Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной .

Пример 4.

Решить уравнение: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Решение.

Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.

Ответ: (3; 4).

Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные .

Пример 5.

Решить уравнение в целых числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Решение.

Перепишем уравнение в виде x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x 2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.

Ответ: нет корней.

Пример 6.

Решить уравнение: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Решение.

Выделим полные квадраты в каждой скобке:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.

Ответ: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 7.

Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.

Решение.

Выделим полные квадраты:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:

(x – y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.

Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Ответ: -17.

Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Уже в начале 2 тысячелетия до н. э. Вавилоняне умели решать системы таких уравнений с двумя переменными. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником для нас является «Арифметика» Диофанта, содержащая различные типы уравнений. В ней Диофант (по его имени и название уравнений – диофантовы уравнения) предвосхищает ряд методов исследования уравнений 2-ой и 3-ой степеней, развившихся только в 19 веке.

Простейшие диофантовы уравнения ах + ву = 1(уравнение с двумя переменными, первой степени) х2 + у2 = z2 (уравнение с тремя переменными, второй степени)

Наиболее полно изучены алгебраические уравнения, их решение было одной из важнейших задач алгебры в 16-17 вв.

К началу 19 века трудами П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса было исследовано диофантово уравнение вида: ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, где a, в, с, d, e, f числа; х, у неизвестные переменные.

Это уравнение 2-ой степени с двумя неизвестными.

К. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения некоторых типов уравнений с двумя переменными (диофантовых уравнений). Существует большое число конкретных диофантовых уравнений, решаемых элементарными способами. /p>

Теоретический материал.

В этой части работы будут описаны основные математические понятия, даны определения терминов, сформулирована теорема о разложении с использованием метода неопределенных коэффициентов, которые были изучены и рассмотрены при решении уравнений с двумя переменными.

Определение 1: Уравнение вида ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, где a, в, с, d, e, f числа; х, у неизвестные переменные называется уравнением второй степени с двумя переменными.

В школьном курсе математики изучается квадратное уравнение ах2+вх +с=0 , где а,в,с числа х переменная, с одной переменной. Существует много способов решения такого уравнения:

1. Нахождение корней, используя дискриминант;

2. Нахождение корней для четного коэффициента в (по Д1=);

3. Нахождение корней по теореме Виета;

4. Нахождение корней с помощью выделения полного квадрата двучлена.

Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Определение 2: Корень уравнения – это число, которое при подстановке в уравнение образует верное равенство.

Определение 3: Решение уравнения с двумя переменными называется пара чисел (х,у) при подстановки которых в уравнение, оно превращается в верное равенство.

Процесс разыскивания решений уравнения очень часто заключается обычно в замене уравнения равносильным уравнением, но более простым при решении. Такие уравнения называются равносильными.

Определение 4: Два уравнения называются равносильными, если каждое решение одного уравнения является решением другого уравнения, и наоборот, причем оба уравнения рассматриваются в одной и той же области.

Для решения уравнений с двумя переменными используют теорему о разложении уравнения на сумму полных квадратов (методом неопределенных коэффициентов).

Для уравнения второго порядка ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0 (1) имеет место разложение а(х +ру +q)2 + r(y+s)2 +h (2)

Сформулируем условия, при которых имеет место разложение (2) для уравнения (1) двух переменных.

Теорема: Если коэффициенты а,в,с уравнения (1) удовлетворяют условиям а0 и 4ав – с20, то разложение (2) определяется единственным способом.

Другими словами уравнение (1) с двумя переменными можно с помощью метода неопределенных коэффициентов привести к виду (2), если выполнены условия теоремы.

Рассмотрим на примере, как реализуется метод неопределенных коэффициентов.

СПОСОБ №1. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов

2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.

1. Проверим выполнение условия теоремы, а=2, в=1, с=2, значит, а=2,4ав – с2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Условия теоремы выполнены, можно разложить по формуле (2).

3. 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h, исходя из условий теоремы обе части тождества равносильны. Упростим правую часть тождества.

4. 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(х2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2х2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Приравниваем коэффициенты при одинаковых переменных с их степенями.

х2 2 = 2 у21 = 2p2 + r) ху2 = 4p х2 = 4q у0 = 4pq + 2rs х01 = 2q2 + rs2 + h

6. Получим систему уравнений, решим ее и найдем значения коэффициентов.

7. Подставим коэффициенты в (2), тогда уравнение примет вид

2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению

2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), это уравнение равносильно системе двух линейных уравнений.

Ответ: (-1; 1).

Если обратить внимание на вид разложения (3), то можно заметить, что оно по форме идентично выделению полного квадрата из квадратного уравнения с одной переменной: ах2 + вх + с = а(х +)2 +.

Применим этот прием при решении уравнения с двумя переменными. Решим с помощью выделения полного квадрата уже решенное с использованием теоремы квадратное уравнение с двумя переменными.

СПОСОБ №2: Решить уравнение 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.

Решение: 1. Представим 2х2 в виде суммы двух слагаемых х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.

2. Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было свернуть по формуле полного квадрата.

(х2 + у2 + 2ху) + (х2 + 2х +1)= 0.

3. Выделим полные квадраты из выражений в скобках.

(х + у)2 + (х + 1)2 = 0.

4. Данное уравнение равносильно системе линейных уравнений.

Ответ: (-1;1).

Если сравнить результаты, то видно, что уравнение, решенное способом №1 с использованием теоремы и методом неопределенных коэффициентов и уравнение, решенное способом №2, с помощью выделения полного квадрата имеют одинаковые корни.

Вывод: Квадратное уравнение с двумя переменными можно разлагать на сумму квадратов двумя способами:

➢ Первый способ – это метод неопределенных коэффициентов, в основе которого лежит теорема и разложение (2).

➢ Второй способ – с помощью тождественных преобразований, позволяющих выделить последовательно полные квадраты.

Конечно же, при решении задач второй способ является предпочтительнее, т. к. не требует запоминания разложения (2) и условия.

Этот метод можно применять и для квадратных уравнений с тремя переменными. Выделение полного квадрата в таких уравнениях более трудоемко. Такого вида преобразованиями я буду заниматься в следующем году.

Интересно заметить, что функцию, имеющую вид: f(х,у)= ах2 + вху + су2 + dx + ey + f, называют квадратичной функцией двух переменных. Квадратичным функциям принадлежит важная роль в различных разделах математики:

В математическом программировании (квадратичное программирование)

В линейной алгебре и геометрии (квадратичные формы)

В теории дифференциальных уравнений (приведение линейного уравнения второго порядка к каноническому виду).

При решении этих различных задач, приходится, по сути, применять процедуру выделения полного квадрата из квадратного уравнения (одной, двух и более переменных).

Линии, уравнения которых, описываются квадратным уравнением двух переменных, называются кривыми второго порядка.

Это окружность, эллипс, гипербола.

При построении графиков этих кривых так же используется метод последовательного выделения полного квадрата.

Рассмотрим, как работает метод последовательного выделения полного квадрата на конкретных примерах.

Практическая часть.

Решить уравнения, методом последовательного выделения полного квадрата.

1. 2х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0; х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0;

(х +1)2 + (х + у)2 = 0;

Ответ:(-1;1).

2. х2 + 5у2 + 2ху + 4у + 1 = 0; х2 + 4у2 + у2 + 2ху + 4у + 1 = 0;

(х + у)2 + (2у + 1)2 = 0;

Ответ:(0,5; - 0,5).

3. 3х2 + 4у2 - 6ху - 2у + 1 = 0;

3х2 + 3у2 + у2 – 6ху – 2у +1 = 0;

3х2 +3у2 – 6ху + у2 –2у +1 = 0;

3(х2 - 2ху +у2) + у2 - 2у + 1 = 0;

3(х2 - 2ху + у2)+(у2 - 2у + 1)=0;

3(х-у)2 + (у-1)2 = 0;

Ответ:(-1;1).

Решить уравнения:

1. 2х2 + 3у2 – 4ху + 6у +9 =0

(привести к виду: 2(х-у)2 + (у +3)2 = 0)

Ответ: (-3; -3)

2. – 3х2 – 2у2 – 6ху –2у + 1=0

(привести к виду: -3(х+у)2 + (у –1)2= 0)

Ответ: (-1; 1)

3. х2 + 3у2+2ху + 28у +98 =0

(привести к виду: (х+у)2 +2(у+7)2 =0)

Ответ: (7; -7)

Заключение.

В данной научной работе были изучены уравнения с двумя переменными второй степени, рассмотрены способы их решения. Поставленная задача выполнена, сформулирован и описан более краткий способ решения, основанный на выделении полного квадрата и замене уравнения на равносильную систему уравнений, в результате упрощена процедура нахождения корней уравнения с двумя переменными.

Важным моментом работы является то, что рассматриваемый прием применяется при решении различных математических задач связанных с квадратичной функцией, построением кривых второго порядка, нахождением наибольшего (наименьшего) значения выражений.

Таким образом, прием разложения уравнения второго порядка с двумя переменными на сумму квадратов имеет самые многочисленные применения в математике.

Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.

Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.

Уравнение вида:

Где a, b, с - числа, причем

Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.

Рассмотрим пример:

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

,

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

Построим на графике точки и проведем прямую:

Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.

Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.

Пример 2 - построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, ,

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , ,

Возьмем для проверки и найдем у:

, ,

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

2. Портал для семейного просмотра ().

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;