Положительные и отрицательные числа. Положительные и отрицательные числа, определение, примеры
Координатная прямая
Прямая с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и указанным положительным направлением называется координатной прямой
.Число, показывающее положение точки на координатной прямой, называется координатой точки .
Пример
Точка А расположена на прямой (см. рисунок) на расстоянии 2,5 единичных отрезка вправо от 0. Это означает, что координата точки А - число . Обозначается: А (2,5).
Точка B на рисунке расположена слева от 0 на расстоянии 4 одинаковых отрезков. Обозначается: B .
Следовательно, число со знаком «+» называют положительными . При записи положительных чисел знак «+», как правило, опускают.
Числа со знаком «–» называют отрицательными .
Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами .
Число, противоположное числу а , обозначают . Таким образом, если , то ; если , то , то есть . Число 0 противоположно само себе . Если данное число положительное, то противоположное ему отрицательное и наоборот.
Обратите внимание, что по записи нельзя сказать, какое это число - положительное или отрицательное.
Если х - положительное, то отрицательное; если х - отрицательное, то положительное; если , то .
Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называются целыми числами . Числа, которые можно записать в виде дроби , где m - целое число, а n - натуральное число, называют рациональными числами .
Каждое рациональное число можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Положительные и отрицательные числа, которые изучаются в шестом классе - очень легкая для понимания, приятная тема. А самое главное, без нее нельзя двигаться дальше - весь курс математики основан на использовании чисел как со знаком «плюс», так и со знаком «минус».
Посмотрим, какими определениями можно характеризовать данное понятие - и приведем примеры.
Что такое координатная прямая?
Приступая к изучению математики, сначала школьники учатся обращаться только с положительными числами - 1, 2, 3, 10, 128, 1586 и так далее почти до бесконечности, причем числа могут быть и целыми, и дробными. Смысл положительных чисел прост - обычно они обозначают количество каких-то предметов, единицы длины и массы, возраст и так далее.
Однако если вообразить перед собой или начертить на бумаге прямую линию и поставить в ее условном центре число 0, то окажется, что направления у такой прямой будет два. Справа от нуля расположатся уже знакомые нам положительные числа. А вот слева числа будут стоять со знаком «минус» - -1, -2, -3 и тому подобное. Как и в предыдущем случае, это относится и к целым числам, и к дробным.
Можно вывести сразу несколько определений положительных и отрицательных чисел. Положительными будут числа:
- больше нуля;
- расположенные на координатной прямой справа от точки 0;
- со знаком «плюс» или не имеющие никакого знака перед собой в письменном виде.
В свою очередь, отрицательными будут числа:
- меньше нуля;
- стоящие слева от точки 0 на прямой координат;
- имеющие в числовой записи знак «минус», стоящий непосредственно перед числом.
Хотя перед положительными числами и можно ставить значок «+», обычно этого не делают, чтобы не перегружать уравнение или выражение. Знак «-» перед отрицательными числами ставится всегда - соответственно, если его нет, то число точно является положительным.
Начальная точка координат - 0 - не относится ни к одной из категорий и стоит обособленно.
Что могут обозначать отрицательные числа?
Если попытаться применить математику к повседневной жизни, то можно обнаружить, что отрицательные числа встречаются нам наряду с положительными. Самый простой пример - это температура воздуха. Когда на улице холодно, это не обозначают каким-то очень малым положительным числом - а опускаются ниже нуля и используют числа отрицательные. Кроме того, если положительные числа говорят о наличии и количестве неких предметов, то числа отрицательные могут выражать их отсутствие или уменьшение количества.
Учитель: .
Тема: “Положительные и отрицательные числа. Координаты на прямой”.
Тип урока: изучение нового материала.
Цель:
- Дать всесторонние представления о новых числах. Научить читать и записывать положительные и отрицательные числа, изображать их точками на прямой. Определять координаты точек, находить координату точки, отмечать на координатной прямой точку по ее координате. Формировать навыки мыслительной деятельности, внимательность, культуру чтения, культуру математической речи, развивать активность учащихся.
Образовательные результаты:
· Умение отличать положительные числа от отрицательных;
· Умение построить координатную прямую;
· Умение находить на координатной прямой точку с заданной координатой;
· Умение определять координату заданной точки;
· Навыки контроля и самоконтроля.
Межпредметные связи:
География, история, биология, русский язык .
Оборудование:
Компьютер, мультимедийный проектор, презентация, карточки.
Ход урока:
1. Организационное начало.
Приветствие. Проверка готовности учащихся к работе. Игра «Антонимы». Сегодня вам пригодятся знания не только по математике, но и по другим предметам. Вспомним из уроков русского языка, что такое антонимы ? Назовите антоним к слову…
Холодно-…
Глубина-…
Прибыль-…
Недостача-…
У чисел тоже есть антонимы. Те, которые мы уже изучили - положительные числа, а противоположные им по значению - отрицательные числа. Слова положительные числа и отрицательные числа тоже антонимы, которые используются в математике. С ними мы познакомимся сегодня на уроке и выясним, нужны ли отрицательные числа? (Цели урока.)
Запишите тему урока: «Положительные и отрицательные числа. Координаты на прямой».
2.Устный счёт (слайд 2)
Задача 1
Белка вылезла из дупла и бегает по стволу. Она удалилась от дупла на 3 метра. Где находиться белка? Достаточно ли знать лишь расстояние белки от дупла?
Что нужно знать, чтобы определить положение белки на дереве?
(слайд 3)
Достаточно ли знать только расстояние, чтобы определить точное положение автобуса?
4.Каким числам соответствуют точки А, Е, С, Д, В, F на координатном луче?
5.Каким точкам на координатном луче соответствуют числа 15 ,11,5?
6.Какую будет иметь координату точка А, если её переместить: на 2 единичных отрезка вправо;
Ребята затрудняются ответить на последний вопрос. Создаётся проблемная ситуация: найти с помощью координатного луча координату точки невозможно. Необходима новая математическая модель.
3.Изучение нового материала.
И такая математическая модель существует. Начертите прямую. Отметьте на ней точку О. На какие две фигуры разбила точка О прямую? (НА ДВА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЛУЧА).
Выберем отрезок определённой длины (допустим одна клетка в тетради) и отложим от точки О вправо и влево отрезки выбранной длины. Как называются эти отрезки? Как назовём точку О?
(единичный отрезок, начало координат)
Какое число соответствует точке О? (нуль)
Расставим числа слева от нуля под каждым штрихом 1,2,3,…Как называется число, соответствующее точке на каждом луче? (координата точки). Отметим точки С и В справа и слева от О на одинаковом расстоянии. Назовите их координаты. Расположение точек различно, а координаты одинаковые. Чтобы отличать их друг от друга, условились ставить перед числами справа от нуля знак «+», а слева знак «-» .Числа со знаком плюс называют положительными, а со знаком минус отрицательными. Направление вправо от начала отсчета называется положительным, и направление на прямой обозначают стрелкой . Влево от точки О располагают отрицательные числа , и направление влево от точки О называется отрицательным (отрицательное направление не указывается). Знак «+» перед положительными числами обычно опускают, для краткости записи, и вместо +2 пишут 2, поэтому +2=2 т. е это одно и то же число, только по разному обозначенное. Отрицательные числа пишутся со знаком“-”.Читают: “Минус один”, “Минус два”,“Минус три” и т. д
К каким числам мы будем относить нуль? (нуль – число ни положительное ни отрицательное). Оно отделяет положительные числа от отрицательных чисел.
Мы получили новую математическую модель, которая называется координатная прямая. Назовите её особенности.
· Прямая линия.
· Указано положительное направление.
· Отмечено начало отсчёта.
· Отложены единичные отрезки.
Назовите новую координату точки С? Отметьте на координатной прямой точку А(5).
А теперь вернёмся к нашему вопросу. Какую будет иметь координату точка, А если её переместить на 7 единичных отрезков влево.
(с лайд 5) Прямые могут находиться в различных положениях. Поэтому дополнительные лучи могут идти не только влево и вправо, но и, например, вверх и вниз. Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек, расположенных справа от точки О, а отрицательными – координаты точек, расположенных слева от точки О. Если прямая расположена вертикально, то положительными считают координаты точек, расположенных выше точки О, а отрицательными – координаты точек, расположенных ниже точки О.
4.Найдите ошибку .
Найдите среди прямых - прямую, которая является координатной прямой. Объясните почему?
(слайд 6)
5.Физкультминутка. Если я называю положительное число, то ребята поднимают правую руку, если – отрицательное число, то левую руку, если отрицательную дробь, то обе руки. -1,2; 3/5; 0; -11,2; -4,8; 5; 8,3, -1000; 0, 0001; 0.
6.Игра « Определи кодовое слово» (ученик у доски)
(слайд 7)
Отметьте на координатной прямой точки А (1,9), Д(-3,4), Е(-2),К(-1/2), Р(2,4) и Т(4).Прочитайте полученное слово. Получили слово «Декарт»
7. Историческая справка (ученик делает доклад)
(слайд 8) Рене Декарт, французский математик, физик и философ. В 1637 году предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел - ввёл координатную прямую. А до этого момента люди долгое время не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Понимание того, что отрицательные числа нужны и полезны приходило постепенно. Давайте с вами погрузимся в мир истории… первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во 2 веке до нашей эры. Положительные числа тогда толковались как имущество, прибыль, а отрицательные как долг, недостача. Индийские математики лишь в 7веке начали вместо слов «долг 10 юаней» писать просто «10 юаней», но рисовать эти иероглифы чёрной тушью. В Европе отрицательными числами начали пользоваться в 12-13веке. В Италии ростовщики, давая деньги в долг ставили перед именем должника сумму долга и чёрточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачёркивали её, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачёркнутым минусом! уже писал «+» и «-» для сложения и вычитания а чуть позднее немецкий учёный Михель Штифель написал полную арифметику, которая была напечатана в 1544 год, именно напечатана, а не написана от руки. В ней встречаются такие записи чисел 0+2,0-2,0-5,0+7.Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего».Числа второго вида назвал « больше, чем ничего»Вам, конечно понятны эти названия, потому, что «ничего» это нуль. Об этих числах всегда велись разговоры в учёных кругах. Предполагались и другие обозначения, придумывались изображения. Но даже несмотря на это в 17 веке знаменитый учёный как Паскаль считал, что если из нуля вычесть какое-либо число, то в результате получится нуль. История отрицательных чисел получило своё развитие с появлением аналитической геометрии. Теперь они наравне с положительными были представлены на геометрической оси. В 1831 году Гаусс полно обосновал, что отрицательные числа абсолютно равнозначны по правам с положительными, а то, что их можно применить не во всех случаях, значения не имеет. Окончательное и всеобщее признание отрицательные числа получили лищь в первой половине 18 века. А история возникновения отрицательных чисел заканчивается 19 веке когда Уильям Гамильтон и Герман Грассман создали полную теорию отрицательных чисел, тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел. С этого момента заканчивается история возникновения отрицательных чисел и начинается история развития данного математического понятия. Но это уже другая история…
8.Первичное закрепление.
(слайд 9) Прочитайте числа.
(слайд 10) Найдите ошибку.
(слайд 11) Самостоятельная работа – самопроверка.
Проверь себя (слайд 12)
9.Практическое применение координатной прямой.
Шкала высот и глубин. На уроках географии вы изучали шкалу высот и глубин. На ней начало отсчёта ведётся от уровня океана. Поверхность нашей Земли представлена равнинами и горами их высота определяется по шкале; по ней определяется и глубина океанов (слайды 13,14,15)
С координатной прямой, расположенной горизонтально, мы встречаемся на уроках истории – линия времени (слайд 17)
Шкалу с положительными и отрицательными числами и нулем имеют термометры. Термометр- это прибор для измерения температуры. Начало отсчета соответствует температуре таяния льда 0 градусов Цельсия. А при 100 градусах закипает вода.
(слайд 17)
9.Закрепление нового материала.
№ 000, № 000 из учебника
11. Итог урока.
Что мы узнали на уроке? Что такое числовая координатная прямая, какие числа называются отрицательными, положительными, что называется началом координат, что называется координатой точки? Достаточно ли только положительных чисел? Зачем же нам отрицательные числа?
(слайд 18)
n движение: вверх – вниз
n движение: вправо – влево
n измерение температуры: выше нуля и ниже нуля;
n исчисление времени: годы до н. э. и годы н. э. на оси времени;
n определение местоположения тела по карте или глобусу: восточная и западная долгота или северная и южная широта (в географии);
n отметки выше уровня Мирового океана (нулевой отметки) и ниже уровня океана (в географии);
n решение уравнений, когда в ответе получается отрицательное число.
Отрицательные числа необходимы.
11. Домашнее задание . Стр147-148, № 000,№ 000. (слайд 19)
Определение положительных и отрицательных чисел
Для определения положительных и отрицательных чисел воспользуемся координатной прямой, которая располагается горизонтально и направлена слева направо.
Замечание 1
Началу отсчета на координатной прямой соответствует число нуль, которое не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.
Определение 1
Числа, соответствующие точкам координатной прямой, которые лежат правее от начала отсчета, называются положительными .
Определение 2
Числа, соответствующие точкам координатной прямой, которые лежат левее от начала отсчета, называются отрицательными .
Из данных определений вытекает, что множество всех отрицательных чисел противоположно множеству всех положительных чисел.
Отрицательные числа всегда записывают со знаком «–» (минус).
Пример 2
Примеры отрицательных чисел:
- Рациональные числа $-\frac{9}{17}$, $-4 \frac{11}{23}$, $–5,25$, $–4,(79)$.
- Иррациональные числа$ -\sqrt{2}$, бесконечная непериодическая десятичная дробь $–103,1012341981…$
Для упрощения записи перед положительными числами часто не записывают знак «+» (плюс), а перед отрицательными знак «–» записывают всегда. В подобных случаях необходимо помнить, что запись «$17,4$» равносильна записи «$+17,4$», запись «$\sqrt{5}$» равносильна записи «$+\sqrt{5}$» и т.д.
Таким образом, можно использовать следующее определение положительных и отрицательных чисел:
Определение 3
Числа, записанные со знаком «+», называются положительными , а со знаком «–» – отрицательными .
Используется определение положительных и отрицательных чисел, которое основано на сравнении чисел:
Определение 4
Положительными числами являются числа больше нуля, а отрицательными числами – числа меньше нуля.
Замечание 3
Таким образом, число нуль разделяет положительные и отрицательные числа.
Правила чтения положительных и отрицательных чисел
Замечание 4
При чтении числа со знаком впереди него сначала читается его знак, а затем само число.
Пример 3
Например, «$+17$» читают «плюс семнадцать»,
«$-3 \frac{4}{11}$» читают «минус три целых четыре одиннадцатых».
Замечание 5
Стоит отметить, что названия знаков «плюс» и «минус» не склоняются, в то время как числа могут склоняться.
Пример 4
Интерпретация положительных и отрицательных чисел
Положительные числа используются для обозначения увеличения какой-нибудь величины, прихода, прибавки, возрастание значения и т.д.
Отрицательные числа применяют для противоположных понятий – для обозначения уменьшения какой-нибудь величины, расхода, недостатка, долга, снижения значения и т.д.
Рассмотрим примеры.
Читатель взял в библиотеке $4$ книги. Положительное значение числа $4$ показывает число книг, которые есть у читателя. Если ему нужно сдать $2$ книги в библиотеку, можно использовать отрицательное значение $–2$, которое будет указывать на уменьшение числа книг у читателя.
Положительные и отрицательные числа часто используют для описания значений различных величин в измерительных приборах. Например, термометр для измерения температуры имеет шкалу, на которой отмечены положительные и отрицательные значения.
Похолодание на улице на $3$ градуса, т.е. снижение температуры, можно обозначить значением $–3$, а повышение температуры на $5$ градусов – значением $+5$.
Принято отрицательные числа изображать синим цветом, что символизирует холод, низкую температуру, а положительные числа – красным цветом, что символизирует тепло, высокую температуру. Обозначение положительных и отрицательных чисел с помощью красного и синего цвета используется в различных ситуациях для выделения знака чисел.