С 23 преобразование выражений содержащих корни. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения
Муниципальное казенное образовательное учреждение
«Новоникольская средняя общеобразовательная школа»
Быковского муниципального района Волгоградской области
Урок алгебры в 8 классе
Выполнила : учитель математики
Новоникольское – 2015
Урок алгебры в 8 классе
по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»
Цели урока:
повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня;
закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни;
научить освобождаться от иррациональности в знаменателе дроби;
воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, интерес к предмету.
Оборудование : мультимедийный проектор, интерактивная доска, оценочные листы, карточки с тестом, карточки с домашним заданием.
Ход урока:
I . Организационный момент
Сегодня на уроке мы с вами продолжим преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Подвести итоги сегодняшнего урока поможет оценочный лист. Подпишите свои листы и ответьте на первый вопрос «Настроение в начале урока», выбрав один из смайликов.
В математике есть нечто,
вызывающее человеческий восторг.
Ф. Хаусдорф
II . Устная работа
1) Фронтальный опрос.
Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).
Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).
Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х| ).
Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? хх. –х ).
2) Устный счёт: Ну-ка в сторону карандаши!
Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.
"Устный счёт!" Мы творим это дело
Только силой ума и души.
Цифры сходятся где-то во тьме,
И глаза начинают светиться,
И кругом только умные лица.
Потому что считаем в уме!
Вычислите устно:
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
2. Внесите множитель под знак корня:
3. Возведите в квадрат:
4. Приведите подобные слагаемые:
III . Диктант:
| Вариант-1 | Вариант- 2 | Ответы: | Ответы: |
IV .ФИЗКУЛЬТМИНУТКА
V . Историческая справка
Radix - имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)»
Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»).
Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались
точкой ·5
Позднее вместо точки стали ставить ромбик ¨5
Затем Ú 5 . Затем знак Ú и черту стали соединять.
VI этап. Работа над новым материалом.
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность.
Ставится проблема: « Какое выражение проще вычислить: или ? Почему? (Потому, что делить на рациональное число проще, чем на иррациональное.)
Сегодня на уроке мы и будем изучать тему
« Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби». Попробуем освободиться от иррациональности в знаменателе в следующих примерах:
а); б) ; в); г).
На какое выражение нужно умножить знаменатель дроби, чтобы корни «исчезли»? А для того чтобы дробь не изменилась, что нужно сделать? Получаем следующую запись решения.
г)=
Сделаем вывод.
Преобразование, при котором в знаменателе дроби исчезают корни, называют освобождением от иррациональности в знаменателе. Мы увидели два основных приема освобождения от иррациональности в знаменателе:
VII . Закрепление темы : Учебник. Стр.98 № 431(а,б,ж,з), №433(а,б,в)
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) ; б) в); г) .
VII I . Тест (работа в парах )
Английский философ Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».
На этом этапе урока необходимо применить свои знания к решению упражнений в ходе выполнения теста. (тест прилагается )
Самопроверка:
Код правильных ответов: I вариант – 12312 , II вариант - 32132.
Домашнее задание: №431(з,и), №432, №433(г,д,е)
IX . Итог урока:
Заполните до конца оценочный лист. Оценки за урок.
Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской.
Небо покроется черною мглой,
В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути. А как мы сегодня с вами преодолевали преграды? Чем мы занимались на уроке?
- Сегодня мы повторили определение и свойства арифметического квадратного корня; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, формулы сокращённого умножения; ознакомились и закрепили некоторые способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Расширили свой кругозор и узнали, кто впервые ввёл современный знак корня во всеобщее употребление.
Все работали плодотворно, активно и коллективно в течении урока.
Урок окончен. Всем спасибо за урок!
ЛИСТ-ОПРОСНИК
Ф.И. ученика____________________________
1. Настроение в начале урока: а) б) в)
2. Мое восприятие темы урока:
а) усвоил(а) все; б) усвоил(а) почти все; в) усвоил(а) частично, нуждаюсь в помощи.
3.Оценка за диктант:
4. Количество неправильных ответов теста: _________
5. Я работал(а) на уроке:
а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) неудовлетворительно.
6. Я оцениваю свою работу на ______ (поставьте оценку)
7. Я оцениваю урок на _____ (поставьте оценку)
8. Настроение в конце урока: а) б в)
| Тест I вариант 1. Упростите выражение 1) 2) 3) 2. Раскройте скобки и упростите выражение: 1) 18; 2) 12; 3) 22. 3. Упростите: 1); 2) ; 3) . 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе = 1) ; 2) ; 3) . 1) ; 2) ; 3); 4) | Тест II вариант 1. Упростите выражение 1); 2) ; 3) 2. Раскройте скобки и упростите 1) 8; 2) 12; 3) 10. 3. Упростите: 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 1) ; 2); 3) . 5. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) ; 2)
; 3) Ни костяшек, ни ручек, ни мела. Ну-ка, в сторону карандаши! "Устный счёт!" Мы творим это дело Только силой ума и души. Цифры сходятся где-то во тьме, И глаза начинают светиться, И кругом только умные лица. Потому что считаем в уме!  Устный счёт Вынесите множитель из-под знака корня: Немного подумайте  Устный счёт
Немного подумайте  Устный счёт Возведите в квадрат: Немного подумайте  Устный счёт Приведите подобные слагаемые: Немного подумайте       III . Диктант: Вариант-1 Вариант- 2 Ответы: Ответы:  
 Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5 Позднее вместо точки стали ставить ромбик 5 Затем 5 . Затем знак и черту стали соединять.   Взаимопроверка I вариант II вариант п.19, стр. 96, пример 3 № 431 (з, и), №432, №433 (г, д, е) Если в жизни ты хоть на мгновенье Истину в сердце своем ощутил, Если луч света сквозь мрак и сомненье Ярким сияньем твой путь озарил: Что бы в решенье твоем неизменном Рок ни назначил тебе впереди, Память об этом мгновенье священном Вечно храни, как святыню в груди. Тучи сберутся громадой нестройной, Небо покроется черною мглой, С ясной решимостью, с верой спокойной Бурю ты встреть и померься с грозой. |
Добрый день!
Всех гостей приветствуют учитель I категории
Гирина Ирина Валерьевна
и обучающиеся 8 класса
ОУ «Луговская школа»!
Философия Фалеса Милетского
Что легко?
Что трудно?
Кто счастлив?
Давать советы другим
Познать самого себя
Тот, кто здоров телом, одарен спокойствием духа и развивает свои дарования
Упростите выражения:
Сравните выражения:
15.02.17. Классная работа
Тождественные преобразования выражений, содержащих
квадратные корни.
Цель: изучение…
способов тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни
1. Определить способы;
2. Сформулировать правила;
3. Составить алгоритм;
4. Научиться применять алгоритм для преобразования выражений, содержащих квадратные корни
Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни
Вынесение множителя из-под знака корня
Внесение множителя под знак корня
Вынесение множителя из-под знака корня
Внесение множителя под знак корня
Для вынесения множителя из-под знака корня, надо подкоренное выражение разложить на множители так, чтобы один из них являлся полным квадратом
Для внесения множителя под знак корня, надо множитель возвести в квадрат; произведение квадрата множителя и подкоренного выражения записать под знак корня
3. Применить данный способ для выполнения задания.
Выводы: изучили…
способы тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни
Для этого мы решили следующие задачи:
1. Определили способы;
2. Сформулировали правило;
3. Составили алгоритм;
4. Научились применять алгоритм для тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни
Рефлексия
Результатом нашего урока
будет то, что мы
правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня
ПРИМЕНЯТЬ правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня
Выполните тест
«Диагностика уровня математических способностей»
Итог урока и домашнее задание
Закрепить знание правил.
По № 524 - № 528 составить тест
из 10 вопросов с 4 вариантами ответов.
Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.
Навигация по странице.
Вспомним свойства корней
Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.
Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа):
А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , ..., n k - натуральные числа):
Преобразование выражений с числами под знаками корней
По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.
Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.
Приведем еще несколько примеров.
Упростим выражение 
. Числа 3
, 5
и 7
положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3
- как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:
Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:
Возможны и другие варианты решения, например, такой:
Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a
. Имеем:
Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием 
а уже дальше применять свойства корней
До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.
Пример.
Преобразуйте иррациональное выражение 
.
Решение.
По свойству 
первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2
:
Идем дальше. Второй множитель в силу свойства 
можно представить как , а 81
не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3
:
Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: 
. Имеем
Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид 
, и остается преобразовать произведение корней.
Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12
, и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так 
. Учитывая этот результат, имеем
Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:
Оформим краткий вариант решения:
Ответ:
.
Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a . На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2 . Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.
Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство 
, где −a
– отрицательное число (при этом a
– положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2
и −3
– отрицательные числа, но позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: 
. А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так 
, а так 
.
Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо
- выбрать подходящее свойство из списка,
- убедиться, что числа под корнем удовлетворяют условиям для выбранного свойства (в противном случае требуется выполнить предварительные преобразования),
- и провести задуманное преобразование.
Преобразование выражений с переменными под знаками корней
Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x , которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0 , так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0 .
Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2
. Если сразу подставить вместо переменной x
число −2
, то получим нужное нам значение 
. А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x
число −2
и приходим к выражению 
, которое не имеет смысла.
Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x
при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0
, его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪∪}