Длина окружности от диаметра калькулятор. Как найти и чему будет равна длина окружности

Окружность состоит из множества точек, которые находятся на равном расстоянии от центра. Это плоская геометрическая фигура, и найти ее длину не составит труда. С окружностью и кругом человек сталкивается ежедневно независимо от того, в какой сфере он работает. Многие овощи и фрукты , устройства и механизмы, посуда и мебель имеют круглую форму. Кругом называют то множество точек, которое находится в границах окружности. Поэтому длина фигуры равна периметру круга.

Характеристики фигуры

Кроме того, что описание понятия окружности достаточно простое, её характеристики также несложные для понимания. С их помощью можно вычислить её длину. Внутренняя часть окружности состоит из множества точек, среди которых две - А и В - можно увидеть под прямым углом. Этот отрезок называют диаметром, он состоит из двух радиусов.

В пределах окружности имеются точки Х такие , что не изменяется и не равняется единице отношение АХ/ВХ. В окружности это условие обязательно соблюдается, в ином случае эта фигура не имеет форму круга. На каждую точку, из которых состоит фигура, распространяется правило: сумма квадратов расстояний от этих точек до двух других всегда превышает половину длины отрезка между ними.

Основные термины окружности

Для того чтобы уметь находить длину фигуры, необходимо знать основные термины, касающиеся её. Основные параметры фигуры - это диаметр, радиус и хорда . Радиусом называют отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на её кривой. Величина хорды равна расстоянию между двумя точками на кривой фигуры. Диаметр - расстояние между точками , проходящее через центр фигуры.

Основные формулы для вычислений

Параметры используются в формулах вычислений величин окружности:

Диаметр в формулах вычисления

В экономике и математике нередко появляется необходимость поиска длины окружности. Но и в повседневной жизни можно столкнуться с этой надобностью, к примеру, во время постройки забора вокруг бассейна круглой формы. Как рассчитать длину окружности по диаметру? В этом случае используют формулу C = π*D, где С - это искомая величина, D - диаметр.

Например, ширина бассейна равна 30 метрам, а столбики забора планируют поставить на расстоянии десяти метров от него. В этом случае формула расчёта диаметра: 30+10*2 = 50 метров. Искомая величина (в этом примере - длина забора): 3,14*50 = 157 метров. Если столбики забора будут стоять на расстоянии трёх метров друг от друга, то всего их понадобится 52.

Расчёты по радиусу

Как вычислить длину окружности по известному радиусу? Для этого используется формула C = 2*π*r, где С - длина, r - радиус. Радиус в круге меньше диаметра в два раза, и это правило может пригодиться в повседневной жизни. К примеру, в случае приготовления пирога в раздвижной форме.

Для того чтобы кулинарное изделие не испачкалось, необходимо использовать декоративную обёртку. А как вырезать бумажный круг подходящего размера?

Те, кто немного знаком с математикой, понимают, что в этом случае нужно умножить число π на удвоенный радиус используемой формы. Например, диаметр формы равен 20 сантиметрам, соответственно, её радиус составляет 10 сантиметров. По этим параметрам находится необходимый размер круга: 2*10*3, 14 = 62,8 сантиметра.

Подручные способы вычисления

Если найти длину окружности по формуле нет возможности, то стоит воспользоваться подручными методами расчёта этой величины:

• При небольших размерах круглого предмета его длину можно найти с помощью верёвки, обёрнутой вокруг один раз.
• Величину большого предмета измеряют так: на ровной плоскости раскладывают верёвку, и по ней прокатывают круг один раз.
• Современные студенты и школьники для расчётов используют калькуляторы. В режиме онлайн по известным параметрам можно узнавать неизвестные величины.

Круглые предметы в истории человеческой жизни

Первое изделие круглой формы, которое изобрёл человек - это колесо. Первые конструкции представляли собой небольшие округлые бревна, насаженные на оси. Затем появились колёса, сделанные из деревянных спиц и обода. Постепенно в изделие добавляли металлические детали для уменьшения износа. Именно для того, чтобы узнать длину металлических полос для обивки колёса, учёные прошлых веков искали формулу расчёта этой величины.

Форму колеса имеет гончарный круг , большинство деталей в сложных механизмах, конструкциях водяных мельниц и прялок. Нередко встречаются круглые предметы в строительстве - рамки круглых окон в романском архитектурном стиле, иллюминаторы в суднах. Архитекторы, инженеры, учёные, механики и проектировщики ежедневно в сфере своей профессиональной деятельности сталкиваются с надобностью расчёта размеров окружности.

1. Длина окружности. Окружностью называется замкнутая плоская кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от одной точки (О), называемой центром окружности (рис. 27).

Окружность вычерчивается с помощью циркуля. Для этого острую ножку циркуля ставят в центр, а другую (с карандашом) вращают вокруг первой до тех пор, пока конец карандаша не вычертит полной окружности. Расстояние от центра до любой точки окружности называется её радиусом. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны между собой.

Отрезок прямой линии (АВ), соединяющий две любые точки окружности и проходящий через её центр, называется диаметром . Все диаметры одной окружности равны между собой; диаметр равен двум радиусам.

Как найти длину окружности? Практически в некоторых случаях длину окружности можно найти путём непосредственного измерения. Это можно сделать, например, при измерении окружности сравнительно небольших предметов (ведро, стакан и т. п.). Для этого можно воспользоваться рулеткой, тесьмой или шнуром.

В математике применяется приём косвенного определения длины окружности. Он состоит в вычислении по готовой формуле, которую мы сейчас выведем.

Если мы возьмём несколько больших и малых круглых предметов (монета, стакан, ведро, бочка и т. д.) и измерим у каждого из них длину окружности и длину диаметра, то получим для каждого предмета два числа (одно, измеряющее длину окружности, и другое - длину диаметра). Естественно, что для малых предметов эти числа будут небольшими, а для крупных - большими.

Однако если мы в каждом из этих случаев возьмём отношение полученных двух чисел (длины окружности и диаметра), то при тщательном выполнении измерения найдём почти одно и то же число. Обозначим длину окружности буквой С , длину диаметра буквой D , тогда отношение их будет иметь вид С: D . Фактические измерения всегда сопровождаются неизбежными неточностями. Но, выполнив указанный опыт и произведя необходимые вычисления, мы получим для отношения С: D примерно следующие числа: 3,13; 3,14; 3,15. Эти числа очень мало отличаются одно от другого.

В математике путём теоретических соображений установлено, что искомое отношение С: D никогда не меняется и оно равно бесконечной непериодической дроби, приближённое значение которой с точностью до десятитысячных долей равно 3,1416 . Это значит, что всякая окружность длиннее своего диаметра в одно и то же число раз. Это число принято обозначать греческой буквой π (пи). Тогда отношение длины окружности к диаметру запишется так: С: D = π . Мы будем ограничивать это число только сотыми долями, т. е. брать π = 3,14.

Напишем формулу для определения длины окружности.

Так как С: D = π , то

C = πD

т. е. длина окружности равна произведению числа π на диаметр.

Задача 1. Найти длину окружности (С ) круглой комнаты, если диаметр её D = 5,5 м.

Принимая во внимание изложенное выше, мы должны для решения этой задачи увеличить диаметр в 3,14 раза:

5,5 3,14 = 17,27 {м).

Задача 2. Найти радиус колеса, у которого длина окружности 125,6 см.

Эта задача обратна предыдущей. Найдём диаметр колеса:

125,6: 3,14 = 40 (см).

Найдём теперь радиус колеса:

40: 2 = 20 (см).

2. Площадь круга. Чтобы определить площадь круга, можно было бы начертить на бумаге круг данного радиуса, покрыть его прозрачной клетчатой бумагой и потом сосчитать клетки, находящиеся внутри окружности (рис. 28).

Но такой способ неудобен по многим причинам. Во-первых, вблизи контура круга получается ряд неполных клеток, о величине которых судить трудно. Во-вторых, нельзя покрыть листом бумаги большой предмет (круглую клумбу, бассейн, фонтан и др.). В-третьих, подсчитав клетки, мы всё-таки не получаем никакого правила, позволяющего нам решать другую подобную задачу. В силу этого поступим иначе. Сравним круг с какой-нибудь знакомой нам фигурой и сделаем это следующим образом: вырежем круг из бумаги, разрежем его сначала по диаметру пополам, затем каждую половину разрежем ещё пополам, каждую четверть - ещё пополам и т. д., пока не разрежем круг, например, на 32 части, имеющие форму зубцов (рис. 29).

Затем сложим их так, как показано на рисунке 30, т. е. сначала расположим 16 зубцов в виде пилы, а затем в образовавшиеся отверстия вложим 15 зубцов и, наконец, последний оставшийся зубец разрежем по радиусу пополам и приложим одну часть слева, другую - справа. Тогда получится фигура, напоминающая прямоугольник.

Длина этой фигуры (основание) равна приблизительно длине полуокружности, а высота - приблизительно радиусу. Тогда площадь такой фигуры можно найти путём умножения чисел, выражающих длину полуокружности и длину радиуса. Если обозначим площадь круга буквой S , длину окружности буквой С , радиус буквой r , то можем записать формулу для определения площади круга:

которая читается так: площадь круга равна длине полуокружности, умноженной на радиус.

Задача. Найти площадь круга, радиус которого равен 4 см. Найдём сначала длину окружности, потом длину полуокружности, а затем умножим её на радиус.

1) Длина окружности С = π D = 3,14 8 = 25,12 (см).

2) Длина половины окружности C / 2 = 25,12: 2= 12,56 (см).

3) Площадь круга S = C / 2 r = 12,56 4 = 50,24 (кв. см).

§ 118. Поверхность и объём цилиндра.

Задача 1. Найти полную поверхность цилиндра, у которого диаметр основания 20,6 см и высота 30,5 см.

Форму цилиндра (рис. 31) имеют: ведро, стакан (не гранёный), кастрюля и множество других предметов.

Полная поверхность цилиндра (как и полная поверхность прямоугольного параллелепипеда) состоит из боковой поверхности и площадей двух оснований (рис. 32).

Чтобы наглядно представить себе, о чём идёт речь, необходимо аккуратно сделать модель цилиндра из бумаги. Если мы от этой модели отнимем два основания, т. е. два круга, а боковую поверхность разрежем вдоль и развернём, то будет совершенно ясно, как нужно вычислять полную поверхность цилиндра. Боковая поверхность развернётся в прямоугольник, основание которого равно длине окружности. Поэтому решение задачи будет иметь вид:

1) Длина окружности: 20,6 3,14 = 64,684 (см).

2) Площадь боковой поверхности: 64,684 30,5= 1972,862(кв.см).

3) Площадь одного основания: 32,342 10,3 = 333,1226 (кв.см).

4) Полная поверхность цилиндра:

1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (кв. см) ≈ 2639 (кв. см).

Задача 2. Найти объём железной бочки, имеющей форму цилиндра с размерами: диаметр основания 60 см и высота 110 см.

Чтобы вычислить объём цилиндра, нужно припомнить, как мы вычисляли объём прямоугольного параллелепипеда (полезно прочитать § 61).

Единицей измерения объёма у нас будет кубический сантиметр. Сначала надо узнать, сколько кубических сантиметров можно расположить на площади основания, а затем найденное число умножить на высоту.

Чтобы узнать, сколько кубических сантиметров можно уложить на площади основания, надо вычислить площадь основания цилиндра. Так как основанием служит круг, то нужно найти площадь круга. Затем для определения объёма умножить её на высоту. Решение задачи имеет вид:

1) Длина окружности: 60 3,14 = 188,4 (см).

2) Площадь круга: 94,2 30 = 2826 (кв. см).

3) Объём цилиндра: 2826 110 = 310 860 (куб. см).

Ответ. Объём бочки 310,86 куб. дм.

Если обозначим объём цилиндра буквой V , площадь основания S , высоту цилиндра H , то можно написать формулу для определения объёма цилиндра:

V = S H

которая читается так: объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту.

§ 119. Таблицы для вычисления длины окружности по диаметру.

При решении различных производственных задач часто приходится вычислять длину окружности. Представим себе рабочего, который изготовляет круглые детали по указанным ему диаметрам. Он должен всякий раз, зная диаметр, вычислить длину окружности. Чтобы сэкономить время и застраховать себя от ошибок, он обращается к готовым таблицам, в которых указаны диаметры и соответствующие им длины окружностей.

Приведём небольшую часть таких таблиц и расскажем, как ими пользоваться.

Пусть известно, что диаметр окружности равен 5 м. Ищем в таблице в вертикальном столбце под буквой D число 5. Это длина диаметра. Рядом с этим числом (вправо, в столбце под названием «Длина окружности») увидим число 15,708 (м). Совершенно так же найдём, что если D = 10 см, то длина окружности равна 31,416 см.

По этим же таблицам можно производить и обратные вычисления. Если известна длина окружности, то можно найти в таблице соответствующий ей диаметр. Пусть длина окружности равна приблизительно 34,56 см. Найдём в таблице число, наиболее близкое к данному. Таковым будет 34,558 (разница 0,002). Соответствующий такой длине окружности диаметр равен приблизительно 11 см.

Таблицы, о которых здесь сказано, имеются в различных справочниках. В частности, их можно найти в книжке «Четырёхзначные математические таблицы» В. М. Брадиса. и в задачнике по арифметике С. А. Пономарёва и Н. И. Сырнева.

Если в задаче известны такие величины, как длина окружности, ее радиус или площадь круга, который ограничен данной окружностью, то вычисление диаметра будет несложным. Существует несколько способов, которыми можно высчитать диаметр окружности. Они довольно просты и вовсе не вызывают никаких трудностей, как многим кажется на первый взгляд.

Как найти диаметр окружности – 1 способ

Когда дано значение радиуса окружности, то можно считать задачу наполовину решенной, поскольку радиус представляет собой расстояние от точки, которая лежит в любом месте на окружности, до центра этой самой окружности. Все, что нужно сделать для нахождения диаметра в этом случае, это умножить данную величину радиуса на 2. Такой способ вычисления объясняется тем, что радиус является половиной диаметра. Поэтому, если известно, чему равен радиус, то и значение половины искомой величины диаметра уже фактически найдено.

Как найти диаметр окружности – 2 способ

Если в задаче дано только значение длины окружности, то для нахождения величины диаметра нужно просто поделить ее на число, известное как π, приблизительное значение которого равно 3,14. То есть, если значение длины равняется 31,4, то разделив его на 3,14, получаем значение диаметра, которое равняется 10.

Как найти диаметр окружности – 3 способ

Если в исходных данных приведено значение площади круга, то диаметр найти тоже просто. Все, что нужно сделать, это извлечь квадратный корень из данной величины и поделить полученный результат на число π. Это значит, что если значение площади равно 64, то при извлечении корня остается число 8. Если разделить полученную 8 на 3,14, то получим величину диаметра, которая равна примерно 2,5.

Как найти диаметр окружности – 4 способ

Внутри окружности нужно начертить при помощи линейки или угольника прямую горизонтальную линию от одной точки до другой. Пересечения этой прямой с линией окружностью пометьте буквами, например, А и В. Не имеет никакого значения, в какой из частей круга будет расположена эта прямая.

После этого нужно начертить еще две окружности. Но таким образом, чтобы точки А и В стали их центрами. Вновь образованные фигуры будут пересекаться в двух точках. Через них нужно провести еще одну прямую линию. После этого измеряем ее длину с помощью линейки. Значение измерения и будет равно длине диаметра, потому что последняя начерченная линия и есть сам диаметр.

Интересно, что еще очень далеко в прошлом для плетения корзин определенного размера прутики брали примерно в 3 раза длиннее. Ученые объяснили и доказали экспериментальным путем, что если длину любой окружности разделить на диаметр, то в результате получается почти одно и то же число.

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга : S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
2. Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr ,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p} ,

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

a , b , c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD