Если развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия, то дальнейший рост экономических потребностей у людей вел их по пути все большего и большего расширения и углубления понятия о числе. Особенно значительные сдвиги в этом смысле произошли, когда возникли государства с более или менее сложным государственным аппаратом, потребовавшим учета имущества и создание налоговой системы, и когда товарообмен перешел в стадию развития торговли с применением денежной системы. С одной стороны, это повлекло за собой зарождение письменной нумерации, а с другой - стали развиваться счетные операции, т.е. появились действия над числами.

Своего рода запись чисел производилась еще в те отдаленные эпохи жизни человечества: все эти узелки, зарубки, нанизанные на шнур раковины, являлись ни чем иным, как зародышем записанного числа. Далее стали обозначать число 1 - одной черточкой, 2 - двумя, 3 - тремя и т.д.

Развитие числовой записи всегда сопутствовало общему подъёму культурного уровня народов, а потому, протекало наиболее интенсивно в тех странах, которые быстро шли по пути развития государственности.

Среди народов земного шара в наиболее благоприятных условиях для развития их экономической и политической жизни были такие, которые обитали на стыке трех материков: Европы, Африки и Азии, а также народы занимавшие территории полуострова Индостан и современного Китая. Природные условия в этих местах были на редкость разнообразны. Это разнообразие и крайняя дифференцированность наблюдались в развитии производительных сил и соответственно общественного быта.

Государства расположенные на этих территориях, явились первыми в истории человечества государствами, где мы находим зародыш современных наук и математики в частности.

Нумерация государств Древнего Востока и Рима.

Древневавилонское государство располагалось в той части Месопотамии где наиболее сближаются русла рек Тигра и Евфрата. Главный город этого государства - Вавилон находился на берегу Евфрата.

Расцвет вавилонского государства относится ко второй половине XVIII в. до н.э. Продукты сельского хозяйства (зерно, фрукты, скот) являлись предметами вывоза в соседние страны. Торговле благоприятствовало центральное положение Вавилона на берегу судоходных рек. Расцвет торговли повлек за собой развитие денежной системы мер. В Вавилоне была создана система мер аналогичная нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.

Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.

Числовая запись у вавилонян возникла в весьма отдаленную эпоху. Предполагают, что вавилоняне заимствовали её у народов, которые жили на территории Вавилонского государства еще до его сформирования. Эта запись, подобно вавилонской письменности, производилась на глиняных табличках путем выдавливания на них треугольных клиньев, причем орудием для записи служил трехгранный брусок. Такого рода клинопись состояла главным образом из трех положений клинка: вертикального острием вниз, горизонтального острием влево и горизонтального острием вправо. При этом знак Ў означал единицу, 3 - десяток. При помощи этих знаков, применяя еще метод сложения, можно было выражать и многозначные числа. Например, знак ЎЎЎ изображал 5, знак 33ЎЎЎ - число 23 и т.д. ЎЎ

Зарождение египетской культуры относится к периоду времени за 4000 лет до н.э. Предполагают, что в эту эпоху была создана и египетская письменность. Первоначально она носила иероглифический характер, т.е. каждое понятие изображалось в виде отдельного рисунка. Но постепенно иероглифические записи принимали несколько иную форму, именуемую иероглифической записью.

Таким же методом производилась и запись чисел. При иероглифической записи числа выражались уже в десятичной системе, причем существовали особые знаки для разрядных чисел: единиц, десятков, сотен и т.д. Единица изображались знаком |, десяток, сотня, тысяча, десять тысяч, сто тысяч, миллион, десять миллионов. При этом если единица какого-нибудь разряда содержалась в числе несколько раз, то она столько же раз повторялась в записи, т.е. соблюдался закон сложения. Например, число 5 выражалось так: . Число 122 имело вид: .

У египтян употреблялись только единичные дроби, т.е. такие которые выражают только одну долю в нашей записи имеют в числителе единицу (сакие дроби мы называем аликвотными ). Исключение составила дробь 2/3, для которой существовал особый знак: ; Ѕ тоже имела особый знак, а все остальные выражались при помощи символа «ро», который имел вид. Чтобы изобразить какую-нибудь дробь рисовали этот символ и под ним ставили число, представлявшее знаменатель. Например, одна седьмая записывалась так: .

Записи производились преимущественно красками на папирусе. Иногда же материалом для записи служили камень, дерево, кожа, холст. Текст вписывался в строки преимущественно справа налево и столбцами сверху вниз.

Начальные понятия математики, зародившиеся в Древнем Китае, послужили развитию математической культуры соседних народов, которые занимали территорию современной Кореи Индокитая и с особенности Японии.

В Китае рано начали накапливаться сведения математического характера и появилась запись чисел. При этом китайские иероглифические цифры были по записи еще сложнее египетских. (рис. в прил.).

Но, помимо этих иероглифических цифр, в Китае имели распространение и более простые цифровые знаки, употреблявшиеся при торговых операциях.

Выглядели они следующим образом: |=1; ||=2; |||=3; ||||=4; |||||=5; | =6; ||=7; |||=8;||||=9; 0=0. Запись чисел производилась столбцами сверху вниз. Большим преимуществом китайской записи чисел было введение в употребление нуля для выражения отсутствующих разрядов. Предполагают, что нуль заимствован из Индии в XII в.

Уже с давних времен в Китае вошел в употребление счетный прибор саун-пан, по конструкции напоминающий современные русские счеты (рис. в прил.). Главное его отличие от русских счетов в том, что наши счеты основаны на десятичной системе счисления, а в саун-пан смешанная пятеричная и двоичная система. В саун-пан каждая проволока делится на две части: в нижней её части нанизано 5 косточек, а в верхней - 2. Когда нижней части проволоки отсчитаны все пять косточек, то они заменяются одной в верхней части; где косточки в верхней части заменяются одной косточкой высшего разряда. счисление нумерация дробный рациональный

На заре человеческой культуры в развитии математики Китай шёл далеко впереди Вавилона и Египта.

Метод записи чисел у римлян, заимствован у древних этрусков - однго из племен Древней Италии. В этой записи сохранились следы пятеричной системы счисления, и числа выражались при помощи букв, а именно числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 обозначались собственно буквами I, V, X, L, C, D и M. Для более крупных чисел (10000, 100000, 1000000) существовали особые знаки. Для обозначения нуля знака не было. В записях они придерживались принципа сложения и вычитания: числа, написанные справа, прибавлялись, а числа написанные слева, вычитались от числа, написанного рядом с ним. Так, IX, XII, XC и CXXX означали соответственно 9, 12, 90 и 130. Римская запись чисел используется в наше время в тех случаях, когда надо записать какое-либо строго зафиксированное число, над которым не придется производить ни каких арифметических операций, например, дата постройки памятника или здания, век, глава в книге и т.п.

Вследствие затруднительности вычислений, римляне прибегали к помощи пальцевого счета или абака. (рис).

Этот абак представляет собой металлическую доску с желобками, вдоль которых могут передаваться жетоны. Продольных желобков девять, причем семь из них дают возможность отсчитывать единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и миллионы. Разряды единиц укрупняются при переходе от правых желобков к левым (как это возможно видеть на рисунке). Два же самых правых желобка дают возможность вести отсчет дробных долей. желобки для целых чисел разделяются на две части: в верхней помещен один жетон, а в нижней - четыре. Верхний жетон заменяет пять нижних. Второй желобок справа тоже разделен на две части и дает возможность отсчитывать двенадцатые доли, причем верхняя его часть содержит один жетон, а нижняя - пять. Самый правый желобок разделен на три части, из которых верхняя даёт отчет 24-х долей, средняя 48-х и нижняя - 72-х. На правом чертеже представлен отчет, равный 84 071+2|12+1|72.

Числа в Индии.

Особенно ценный вклад в арифметику внесен индийцами. В этом отношении математика обязана индийцам упорядочением числовой записи при помощи введения цифр для десятичной системы счисления и установления принципа поместного значения цифр. Кроме того, в Индии получило распространение употребление нуля для указания соответствующих разрядных единиц, что тоже сыграло большую роль в усовершенствовании числовых записей и облегчении операций над числами.

Цифровые знаки Индии не совпадают по очертаниям с современными цифрами, но все же имеют с ними в некоторых случаях большое сходство. Так, например, очень походили на современные цифры индийские знаки, изображавшие единицу, семерку и нуль. Остальные знаки в течение многих веков, отделяющих нас от времени их происхождения, сильно видоизменялись.

Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения облегчило вычислительные операции над числами, а потому арифметические вычисления и получили в Индии значительное развитие. Главное преимущество введения индийцами методов записи чисел заключатся в том, что они значительно уменьшили количество цифр, применяли позиционную систему к десятичному счету и ввели в употребление знак нуля. В то время как у греков, евреев, сирийцев и т.д. для записи чисел употреблялось до 27 различных цифровых знаков, у индийцев число таких цифровых знаков снизилось до 10, включая и обозначение нуля. Что касается позиционной системы, её зачатки были еще у вавилонян, но там эта система применялась для шестидесятеричного счета, а индийцы ввели её для десятичного. Наконец, применение знака для нуля при позиционной системе дало большое преимущество перед записью чисел у вавилонян. Так, например, у вавилонян значок Ў мог обозначать и единицу и 1/60, и вообще любое число вида 60 n , а в записи у индийцев знак 1 мог обозначать только единицу, так как для обозначения десятка, сотни и так далее после единицы записывалось соответствующее число нулей.

Процесс записи чисел и проведение арифметических операций над ними делались индийцами на белой доске, засыпанной красным песком. Орудием для записи служила палочка. Таким образом, при записи на красной поверхности появлялись белые знаки, прочерченные палочкой.

Числа народов Средней Азии.

Начиная с VII в. в истории народов, входящих в состав государств Средней Азии и Ближнего Востока значительную роль начинает играть арабское государство. Из мелких арабских государств, целиком умещавшихся на Аравийском полуострове в VII-VIII вв., был создан арабский халифат - государство, занимающее огромную территорию. В его состав вошли, кроме основной территории арабов, Палестина, Сирия, Месопотамия, Персия, Закавказье, Средняя Азия, Северная Индия, Египет, Северная Африка и Пиренейский полуостров. Столицей халифата сначала был Дамаск, а затем в VIII в. вблизи бывшего Вавилона был построен новый город - Багдад, куда и была перенесена столица.

Так многие из представителей народов, вошедших в халифат, писали на арабском языке, то буржуазные историки неправильно включают работы ученых этих народов в число работ арабов.

Первым по времени крупным математиком был у народов входивших в состав халифата, мы назовем великого узбекского (хорезмийского) математика и астролога IX в. Мухаммеда бен Мусса аль-Хорезми (2-я половина VIII в. - между 830-840).

Сочинение аль-Хорезми по арифметике дошло до нашего времени только в переводе на латинский язык. Оно сыграло значительную роль в развитии европейской математики, так как именно в нем европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с системой индийских цифр, с употреблением нуля и с помесным значением цифр. Вследствие того, что сведения эти были получены европейцами из книги, автор которой жил в арабском государстве и писал на арабском языке, индийские цифры десятичной системы стали неправильно именоваться «арабскими цифрами».

Нумерация на Руси.

Восточно-славянские племена, древние предки русской, украинской и белоруской народностей начали формироваться около 2-3 т. лет до н.э. В VII и VIII вв. у славян появились первые города. Первыми большими городами Руси были Киев и Новгород.

В X в., в княжение Владимира Святославовича (?-1015), древнерусское государство (Киевская Русь) достигло наибольшего расцвета и могущества. По развитию культуры оно занимало одно из видных мест среди государств Европы. На Руси в эту эпоху параллельно с общим развитием культуры шло сравнительно быстрое распространение сведений из математики.

Правда, до нашего времени не сохранилось никаких памятников математической литературы, которые давали бы нам возможность судить о развитии математики на Руси в IX-X вв., но документы другого характера позволяют делать некоторые выводы в этом отношении. Первым русским памятником математического содержания до настоящего времени считается рукописное сочинение новгородского монаха Кирика, написанное им в 1136 г. и носящее заголовок «Критика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение имже ведати человеку числа всех лет».

В этом сочинении Кирик выявил себя весьма искусным счетчиком и великим числолюбцем. Основные задачи, которые разрешаются Кириком, хронологического порядка: вычисление времени, протекшего между каким-либо событием. При вычислениях Кирик пользовался той системой нумерации, которая называлась малым перечнем и выражалась следующими наименованиями: 10000 - тьма, 100 000 - легион, или неведий, 1 000 000 - леодр.

Кроме малого перечня, в Древней Руси существовал еще больший перечень, который давал возможность оперировать с очень большими числами. В системе перечня основные разрядные единицы имели те же наименования, что и в малом, но соотношения между этими единицами были иные, а именно:

Тысяча тысяч - тьма;

Тьма тем - легион, или певедий;

Легион легионов - леодр;

Леодр леодров - ворон;

10 воронов - колода.

В последнем из этих чисел, т.е. о колоде, говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумевати».

Единицы, десятки и сотни изображались славянскими буквами с поставленным над ними знаком, называемым титло, для отличия цифр от букв. Тысячи изображались теми же буквами, но перед ними ставился знак Так, изображала единицу, - двадцать два, - шесть тысяч и т.д.

Тьма, легион и леодр изображались теми же буквами, но для отличия от единиц, десятков, сотен и тысяч они обводились кружками. Так, изображало три тьмы; - три легиона, а - три леодра.

К XVI в. относится изобретение замечательного счетного прибора, получившего впоследствии название «русские счеты» (рис). Как полагают, идея создания этого прибора принадлежит русским купцам Строгоновым. Дроби в Древней Руси назывались долями, позднее «ломанными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

Половина, полтина, - треть, - четь, - полтреть, - полчеть, - полполтреть, - полполчеть, - полполполтреть (малая треть), - полполполчеть, - пятина, - седьмина, - десятина.

Славянские нумерации употреблялись в России до XVI в., лишь в этом веке в нашу страну постепенно стала проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Письменная нумерация.

В десятичной системе счисления для записи чисел используют десять знаков: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Знаки для записи чисел называют цифрами .

Разряд – место для записи цифр в числе. Каждый разряд имеет свое название. Название разрядов совпадает с названием единиц счета – разряд единиц, десятков, сотен и т.д. Кроме того, разрядам дают названия, совпадающие с номером места, занимаемого разрядом в записи числа. Разряды нумеруют справа налево. Соответственно: 1-ый разряд – разряд единиц; 2-ой разряд- разряд десятков; 3-ий разряд – разряд сотен, 4-ый разряд – разряд единиц тысяч и т. д.

Запись чисел ведется на основе принципа поместного значения цифр : значение цифры зависит от места занимаемого этой цифрой в записи числа

В устной нумерации для обозначения разрядов или классов, не содержащих ни одной единицы, особые слова не требуются, ибо названия этих разрядных единиц просто опускаются. В письменной нумерации на месте отсутствующих единиц в каком-либо разряде или классе ставится цифра 0. Изобразим рассмотренные выше факты в виде схемы (см. схему 1).

При изучении нумерации учащиеся знакомятся с характеристикой числа:

2. Указать, сколько в нем счетных единиц каждого рода (единиц, десятков, сотен и т.д.).

3. Сколько единиц в каждом разряде.

4. Назвать непосредственно следующее и пред-шествующее числа для данного числа (соседей числа).

5. Представить число в виде суммы разрядных слагаемых.

В математике существует 3 подхода к формированию понятия числа: аксиоматический, теоретико-множест-венный и через измерение величин.

В традиционной и некоторых других образовательных системах («Гармония», система Л.В. Занкова и др.) понятие числа формируется на основе теоретико-множест-венного подхода с элементами аксиоматического, который позволяет усваивать свойства ряда натуральных чисел.

Рассмотрим теперь порядок изучения нумерации в системе Л.В. Занкова .

В данной системе выделяются следующие разделы «Однозначные числа», «Двузначные числа», «Трехзначные числа», «Многозначные числа», «Числа в пределах миллиона». Изучение нумерации проходит в два этапа: подготовительный (дочисловой) этап и изучение чисел.

На подготовительном этапе учащиеся закрепляют понятия «больше», «меньше», «равно», уточняются пространственные представления учащихся.

Изучение натурального ряда чисел начинается с ознакомления учащихся с историей возникновения чисел (когда люди не знали чисел, как они считали и др. вопросы). Первоначальной основой знакомства с натуральными числами является теоретико-множественный подход. Число возникает как инвариантная характеристика класса равносильных множеств, а основным инструментом познания отношений между ними становится установление взаимно однозначного соответствия между элементами сравниваемых множеств. На этой основе формируются понятия об отношениях больше, меньше, равно, неравно как между множествами, так и между соответствующими им числами. На данном этапе учащиеся соотносят число с конкретными конечными множествами.

С числами и цифрами дети знакомятся вне их упорядоченного расположения. Написание цифр изучается в порядке возрастания трудности их изображения: 1, 4, 6, 9, 5, 3, 2, 7, 8.

На следующем этапе однозначные натуральные числа, с которыми дети познакомились в процессе сравнения множеств, упорядочиваются в начало натурального ряда чисел и происходит знакомство с его основными свойствами.

План работы на данном этапе:

1. Активизация представлений детей о наведении порядка в самом общем смысле этого слова и о многообразии возможностей его наведения (Задание: На рисунке ты видишь много разных геометрических фигур. Как ты думаешь, есть на этом рисунке порядок? Расскажи, как бы ты навел порядок среди этих фигур. Сделай рисунок.)

2. Формирование представлений о некоторых способах упорядочивания в математике, сосредоточив основное внимание на упорядочивании в порядке возрастания и в порядке убывания.

3. Упорядочивание расположения нескольких разночисленных множеств в порядке увеличения (уменьшения) количества элементов.

Задание: Что можно сказать о рядах кругов? Можно ли сказать, что они расположены в порядке увеличения? Запишите числом, сколько кругов в каждом ряду. Поставьте знаки сравнения.

4. Упорядочивание соответствующих множествам чисел как различающихся на одно и тоже число, так и на разные числа.

5. Упорядочивание всех однозначных натуральных чисел и введение понятия натурального ряда чисел.

6. Знакомство со свойствами натурального ряда чисел (начинается с 1, каждое следующее на 1 больше предыдущего, бесконечный).

7. Понятие об отрезке натурального ряда чисел, сходство и различие между натуральным рядом чисел и его отрезком.

Затем учащиеся знакомятся с числом 0 (число 0 характеризует отсутствие объектов пересчета).

Изучение концентра «Двузначные числа» начинается с числа 10.

Алгоритм изучения двузначных чисел:

· Образование новой счетной единицы – десятка объединением десяти предыдущих единиц.

· Образование десяти как следующего числа натурального ряда.

· Запись 10 и анализ записи.

· Счет десятками до 90.

· Запись получившихся чисел.

· Знакомство с названиями круглых десятков и анализ их образования.

· Заполнение промежутков между круглыми десятками в натуральном ряду чисел.

· Знакомство с название двузначных чисел, стоящих между десятками. Установление общего принципа образования этих названий.

· Сравнение всех изученных натуральных чисел.

Перед изучением новой счетной единицы проходит подготовительная работа: На дом детям дается задание узнать когда и какие предметы считают разными группами и зачем это делают (пара ботинок, перчаток, коробка карандашей 6 (12, 18) и др.).

Ознакомление с числами второго, третьего и т.д. десятка идет постепенно. Каждый новый десяток рассматривается отдельно (сначала образование чисел второго десятка, через несколько уроков образование чисел третьего десятка и т.д.). Изучение двузначных чисел значительно растянуто во времени. Это сделано для того, чтобы дети имели возможность глубоко осознать принцип построения той системы счисления, которой мы пользуемся.

Изучение трехзначных чисел начинается в конце 2 класса и идет в соответствии с тем алгоритмом, который мы написали для двузначных чисел.

В 3 и 4 классах учащиеся продолжают знакомиться с натуральным рядом чисел. Рассмотрение темы «Многозначные числа » разбито на 2 этапа: сначала дети изучают числа в пределах первых двух классов (класса единиц и класса тысяч), а затем знакомятся с числами класса миллионов.

Центральным моментом каждого нового расширения множества натуральных чисел является образование новой счетной единицы (тысячи, десятка тысяч, сотни тысяч и т.д.). Каждая такая единица возникает в первую очередь как результат объединения десяти предыдущих единиц в единое целое: десять сотен – одна тысяча, десять тысяч – один десяток тысяч и т.д.

Хотя первоначально натуральное число возникает перед учениками в теоретико-множественном подходе, уже в первом классе дети знакомятся и с интерпретацией числа как результата отношения величины к выбранной мерке. Это происходит при изучении таких величин как длина, масса, емкость и др. Эти два подхода продолжают сосуществовать и в дальнейшем, завершаясь обобщением, в результате которого появляются понятия точного и приближенного числа. Расширение понятия числа происходит за счет знакомства с дробными, а также положительными и отрицательными числами.

Цель всякой нумерации - изображение любого натураль­ного числа с помощью небольшого количества индивидуаль­ных знаков. Этого можно было бы достичь с помощью одного знака - 1 (единицы). Каждое натуральное число тогда запи­сывалось бы повторением символа единицы столько раз, сколь­ко в этом числе вмещается единиц. Сложение сводилось бы к простому приписыванию единиц, а вычитание - к вычерки­ванию (вытиранию) их. Идея, лежащая в основе такой систе­мы, проста, однако эта система очень неудобна. Для записи больших чисел она практически не пригодна, и ею пользуют­ся только народы, у которых счет не выходит за пределы од-ного-двух десятков.

С развитием человеческого общества увеличиваются зна­ния людей и все больше становится потребность считать и записывать результаты счета довольно больших множеств, измерения больших величин.

У первобытных людей не было письменности, не было ни букв, ни цифр, каждую вещь, каждое действие изобра­жали рисунком. Это были реальные рисунки, отображающие то или другое количество. Постепенно они упрощались, ста­новились все более удобными для записи. Речь идет о записи чисел иероглифами. Иероглифы древних египтян свидетель­ствуют о том, что искусство счета было развито у них доста­точно высоко, с помощью иероглифов изображались боль­шие числа. Однако для дальнейшего усовершенствования счета было необходимо перейти к более удобной записи, которая позволяла бы обозначать числа специальными, более удоб­ными знаками (цифрами). Происхождение цифр у каждого народа различное.

Первые цифры встречаются более чем за 2 тыс. лет до н.э. в Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитах из мяг­кой глины и потом свои записи высушивали. Письменность древних вавилонян называлась клинописью. Клинышки раз­мещались и горизонтально, и вертикально в зависимости от их значения. Вертикальные клинышки обозначали единицы, а горизонтальные, так называемые десятки - единицы вто­рого разряда.

Некоторые народы для записи чисел использовали буквы. Вместо цифр писали начальные буквы слов-числительных. Такая нумерация, например, была у древних греков. По име­ни ученого, который предложил ее, она вошла в историю культуры под названием геродианова нумерация. Так, в этой нумерации число «пять» называлось «pinta» и обозначалось буквой «Р», а число десять называлось «deka» и обозначалось буквой «Д». В настоящее время этой нумерацией не пользуется никто. В отличие от нее римская нумерация сохранилась и дошла до наших дней. Хотя теперь римские цифры встречают­ся не так часто: на циферблатах часов, для обозначения глав в книгах, столетий, на старых строениях и т.д. В римской нуме­рации есть семь узловых знаков: I, V, X, L, С, D, М.

Можно предположить, как появились эти знаки. Знак (1) - единица - это иероглиф, который изображает I па­лец (каму), знак V - изображение руки (запястье руки с отставленным большим пальцем), а для числа 10 - изобра­жение вместе двух пятерок (X). Чтобы записать числа II, III, IV, пользуются теми же самыми знаками, отображая действия с ними. Так, числа II и III повторяют единицу соответствующее число раз. Для записи числа IV перед пя­тью ставится I. В этой записи единица, поставленная перед пятеркой, вычитается из V, а единицы, поставленные за V,

прибавляются к ней. И точно так же единица, записанная перед десятью (X), отнимается от десяти, а та, что стоит справа, - прибавляется к ней. Число 40 обозначается XL. В этом случае от 50 отнимается 10. Для записи числа 90 от 100 отнимается 10 и записывается ХС.

Римская нумерация весьма удобна для записи чисел, но почти не пригодна для проведения вычислений. Никаких действий в письменном виде (расчеты «столбиками» и дру­гие приемы вычислений) с римскими цифрами проделать практически невозможно. Это очень большой недостаток римской нумерации.

У некоторых народов запись чисел осуществлялась буква­ми алфавита, которыми пользовались в грамматике. Эта за­пись имела место у славян, евреев, арабов, грузин.

Алфавитная система нумерации впервые была использо­вана в Греции. Самую древнюю запись, сделанную по этой системе, относят к середине V в. до н.э. Во всех алфавитных системах числа от 1 до 9 обозначали индивидуальными сим­волами с помощью соответствующих букв алфавита. В гре­ческой и славянской нумерациях над буквами, которые обо­значали цифры, чтобы отличить числа от обычных слов, ставилась черточка «титло» (~). Например, а, б, <Г и Т -Д-Все числа от 1 до 999 записывали на основе принципа при­бавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробы записать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям, которые можно рассматривать как зародыши позиционной системы. Так, для обозначения единиц тысяч использовались те же буквы, что и для единиц, но с чер­точкой слева внизу, например, @ , q ; и т.д.

Следы алфавитной системы сохранились до нашего вре­мени. Так, часто буквами мы нумеруем пункты докладов, резолюций и т.д. Однако алфавитный способ нумерации со­хранился у нас только для обозначения порядковых числи­тельных. Количественные числа мы никогда не обозначаем буквами, тем более никогда не оперируем с числами, запи­санными в алфавитной системе.

Старинная русская нумерация также была алфавитной. Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в X в.

Сейчас существует индийская система записи чисел. Заве­зена она в Европу арабами, поэтому и получила название арабской нумерации. Арабская нумерация распространилась по всему миру, вытеснив все другие записи чисел. В этой нумера­ции для записи чисел используется 10 значков, которые на­зываются цифрами. Девять из них обозначают числа от 1 до 9.

2 Заказ 1391

Десятый значок - нуль (0) - означает отсутствие определен­ного разряда чисел. С помощью этих десяти знаков можно за­писать какие угодно большие числа. До XVIII в. на Руси пись­менные знаки, кроме нуля, назывались знамениями.

Итак, у народов разных стран была различная письмен­ная нумерация: иероглифическая - у египтян; клинопис­ная - у вавилонян; геродианова - у древних греков, фи­никийцев; алфавитная - у греков и славян; римская - в западных странах Европы; арабская - на Ближнем Востоке. Следует сказать, что теперь почти везде используется араб­ская нумерация.

Анализируя системы записи чисел (нумерации), которые имели место в истории культур разных народов, можно сде­лать вывод о том, что все письменные системы делятся на две большие группы: позиционные и непозици­онные системы счисления.

К непозиционным системам счисления принад­лежат: запись чисел иероглифами, алфавитная, римская и некоторые другие системы. Непозиционная система счисле­ния - это такая система записи чисел, когда содержание каждого символа не зависит от места, на котором он напи­сан. Эти символы являются как бы узловыми числами, а алгорифмические числа комбинируются из этих символов. Например, число 33 в непозиционной римской нумерации записывается так: XXXIII. Здесь знаки X (десять) и I (еди­ница) используются в записи числа каждый по три раза. Причем каждый раз этот знак обозначает ту же самую вели­чину: X - десять единиц, I - единица, независимо от мес­та, на котором они стоят в ряду других знаков.

В позиционных системах каждый знак имеет раз­ное значение в зависимости от того, на котором месте в записи числа он стоит. Например, в числе 222 цифра «2» повторяется трижды, но первая цифра справа обозначает две единицы, вторая - два десятка, а третья - две сотни. В этом случае мы имеем в виду десятичную систему счисления. Наря­ду с десятичной системой счисления в истории развития математики имели место двоичная, пятиричная, двадцати­ричная и др.

Позиционные системы счисления удобны тем, что они дают возможность записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого количества знаков. Важное пре­имущество позиционных систем - простота и легкость вы­полнения арифметических операций над числами, записан­ными в этих системах.

Появление позиционных систем обозначения чисел было одной из основных вех в истории культуры. Следует сказать, что это произошло не случайно, а как закономерная ступень в культурном развитии народов. Подтверждением этого яв­ляется самостоятельное возникновение позиционных систем у разных народов: у вавилонян - более чем за 2 тыс. лет до н.э.; у племен майя (центральная Америка) - в начале но-вой"эры; у индусов - в IV-VI в. н.э.

Происхождение позиционного принципа прежде всего следует пояснить появлением мультипликативной формы за­писи. Мультипликативная запись - это запись с помощью умножения. Кстати, эта запись появилась одновременно с изобретением первого счетного прибора, который у славян назывался абак. Так, в мультипликативной записи число 154 можно записать: 1хЮ 2 +5х10+4. Как видим, в этой записи отображается тот факт, что при счете некоторые количества единиц первого разряда, в данном случае десять единиц, бе­рутся за одну единицу следующего разряда, определенное количество единиц второго разряда берется, в свою очередь, за единицу третьего разряда и т.д. Это позволяет для изобра­жения количества единиц разных разрядов использовать одни и те же числовые символы. Эта же запись возможна при счете любых элементов конечных множеств.

В пятиричной системе счет осуществляется «пятками» - по пять. Так, африканские негры считают на камушках или орехах и складывают их в кучи по пять предметов в каждой. Пять таких куч они объединяют в новую кучку и т.д. При этом сначала пересчитывают камушки, потом кучки, потом большие кучи. При таком способе счета подчеркивается то обстоятельство, что с кучами камешков следует произво­дить те же самые операции, что и с отдельными камешками. Технику счета по этой системе иллюстрирует русский пу­тешественник Миклухо-Маклай. Так, характеризуя процесс пересчитывания товара туземцами Новой Гвинеи, он пишет, что чтобы посчитать количество полосок бумаги, которые обозначали число дней до возвращения корвета «Витязь», папуасы делали следующее: первый, раскладывая полоски бумаги на коленях, при каждом откладывании повторял «каре» (один), «каре» (два) и так до десяти, второй повто­рял это же слово, но при этом загибал пальцы сначала на одной, потом на другой руке. Досчитав до десяти и загнувши пальцы обеих рук, папуас опускал оба кулака на колени, проговаривая «ибен каре» - две руки. Третий папуас при этом загибал один палец на руке. С другим десятком было

выполнено то же самое, причем третий папуас загибал вто­рой палец, а для третьего десятка - третий палец и т.д. По­добный счет имел место и у других народов. Для такого счета необходимы были не менее чем три человека. Один считал единицы, другой - десятки, третий - сотни. Если же заме­нить пальцы тех, кто считал, камушками, помещенными в разные выемки глиняной доски или нанизанными на прути­ки, то получился бы самый простой счетный прибор.

Со временем названия разрядов при записи чисел начали пропускать. Однако для завершения позиционной системы недоставало последнего шага - введения нуля. При сравни­тельно небольшой основе счета, какой было число 10, и оперировании сравнительно большими числами, особенно после того как названия разрядных единиц начали пропус­кать, введение нуля стало просто необходимым. Символ нуля сначала мог быть изображением пустого жетона абака или видоизмененной простой точки, которую могли поставить на месте пропущенного разряда. Так или иначе, однако вве­дение нуля было совершенно неизбежным этапом законо­мерного процесса развития, который и привел к созданию современной позиционной системы.

В основе системы счисления может быть любое число, кро­ме 1 (единицы) и 0 (нуля). В Вавилоне, например, было число 60. Если за основу системы счисления берется большое число, то запись числа будет очень короткой, однако выполнение арифметических действий будет более сложным. Если же, на­оборот, взять число 2 или 3, то арифметические действия выполняются очень легко, но сама запись станет громоздкой. Можно было бы заменить десятичную систему на более удоб­ную, но переход к ней был бы связан с большими трудно­стями: прежде всего довелось бы перепечатывать заново все научные книги, переделывать все счетные приборы и маши­ны. Вряд ли такая замена была бы целесообразной. Десятичная система стала привычной, а значит, и удобной.

Упражнения для самопроверка

Последовательный ряд чисел опреде-

алгорифмических

операция

вычитание

Для записи чисел разные народы изобретали различные.... Так, до наших

дней дошли такие виды записи: ....... ,

геродианова, ..., римская и др.

И в настоящее время люди иногда
пользуются алфавитной и.., нумерациями, римской

чаще всего при обозначении порядковых числительных.

В современном обществе большинство
народов пользуется арабской (...) нумера- индусской

Письменные нумерации (системы) де­
лятся на две большие группы: позицион­
ные и... системы счисления. непозиционные

§ 6. Счетные приборы

Самыми древними приборами для облегчения счета и вы­числений были человеческая рука и камешки. Благодаря сче­ту на пальцах возникли пятиричная и десятиричная (деся­тичная) системы счисления. Верно подмечено ученым мате­матиком Н.Н.Лузиным, что «преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмиричной системой».

В практической деятельности при счете предметов люди использовали камушки, бирки с зарубками, веревки с узел­ками и др. Первым и более усовершенствованным устрой­ством, специально предназначенным для вычислений, был простой абак, с которого и началось развитие вычислитель­ной техники. Счет с помощью абака, известный уже в Ки­тае, Древнем Египте и Древней Греции задолго до нашей эры, просуществовал многие тысячелетия, когда на смену абаку пришли письменные вычисления. При этом следует заметить, что абак служил не столько для облегчения соб­ственно вычислений, сколько для запоминания промежу­точных результатов.

Известно несколько разновидностей абака: греческий, ко­торый был выполнен в виде глиняной дощечки, на которой твердым предметом проводили линии и в получившиеся уг­лубления (бороздки) клали камешки. Еще более простым был римский абак, на котором камешки могли передвигаться не по желобам, а просто по линиям, нанесенным на доске.

В Китае похожий на абак прибор называли суан-пан, а в Японии - соробан. Основой для этих приборов были шари-

ки, нанизанные на прутики; счетные таблицы, состоящие из горизонтальных линий, соответствующих единицам, де­сяткам, сотням и т.д., и вертикальных, предназначенных для отдельных слагаемых и сомножителей. На эти линии вык­ладывались жетоны - до четырех.

У наших предков тоже был абак - русские счеты. Они появились в XVI-XVII вв., ими пользуются и в наши дни. Основная заслуга изобретателей абака состоит в использова­нии позиционной системы счисления.

Следующим важным этапом в развитии вычислительной техники было создание суммирующих машин и арифмомет­ров. Такие машины были сконструированы независимо друг от друга разными изобретателями.

В рукописях итальянского ученого Леонардо да Винчи (1452-1519) имеется эскиз 13-разрядного суммирующего устройства. Немецким ученым В.Шикардом (1592-1636) был разработан 6-разрядный эскиз, а сама машина была построена примерно в 1623 году. Следует отметить, что эти изобретения стали известны только в середине XX в., по­этому никакого влияния на развитие вычислительной тех­ники они не оказали. Считалось, что первую суммирую­щую машину (8-разрядную) сконструировал в 1641 году, а построил в 1645 году Б.Паскаль. По этому проекту было налажено их серийное производство. Несколько экземпля­ров этих машин сохранилось до наших дней. Достоинством их было то, что они позволяли выполнять все четыре ариф­метических действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Под термином «вычислительная техника» понимают со­вокупность технических систем, т.е. вычислительных машин, математических средств, методов и приемов, используемых для облегчения и ускорения решения трудоемких задач, свя­занных с обработкой информации (вычислениями), а также отрасль техники, занимающейся разработкой и эксплуата­цией вычислительных машин. Основные функциональные элементы современных вычислительных машин, или ком­пьютеров, выполнены на электронных приборах, поэтому их называют электронными вычислительными машинами - ЭВМ. По способу представления информации вычислитель­ные машины делят на три группы;

Аналоговые вычислительные машины (АВМ), в кото­рых информация предстаатяется в виде непрерывно изменя­ющихся переменных, выраженных какими-либо физичес­кими величинами;

Цифровые вычислительные машины (ЦВМ), в которых
информация представляется в виде дискретных значений пе­
ременных (чисел), выраженных комбинацией дискретных зна­
чений какой-либо физической величины (цифры);

Гибридные вычислительные машины (ГВМ), в кото­
рых используются оба способа представления информации.

Первое аналоговое вычислительное устройство появилось в XVII в. Это была логарифмическая линейка.

В XVIII-XIX вв. продолжалось совершенствование меха­нических арифмометров с электрическим приводом. Это усо­вершенствование носило чисто механический характер и с переходом на электронику утратило свое значение. Исклю­чение составляют лишь машины английского ученого Ч.Бе-биджа: разностные (1822) и аналитические (1830).

Разностная машина предназначалась для табулирования многочленов и с современной точки зрения была специали­зированной вычислительной машиной с фиксированной (же­сткой) программой. Машина имела «память» - несколько регистров для хранения чисел. При выполнении заданного числа шагов вычислений срабатывал счетчик числа опера­ций - раздавался звонок. Результаты выводились на печать - печатающее устройство. Причем по времени эта операция совмещалась с вычислениями.

При работе над разностной машиной Бебидж пришел к идее создания цифровой вычислительной машины для вы­полнения разнообразных научных и технических расчетов. Работая автоматически, эта машина выполняла заданную программу. Автор назвал эту машину аналитической. Данная машина - прообраз современных ЭВМ. Аналитическая ма­шина Бебиджа включала в себя следующие устройства:

Для хранения цифровой информации (теперь это назы­
вается запоминающим устройством);

Для выполнения операций над числами (теперь это
арифметическое устройство);

Устройство, для которого Бебидж не придумал назва­
ния и которое управляло последовательностью действий ма­
шины (сейчас это устройство управления);

Для ввода и вывода информации.

В качестве носителей информации при вводе и выводе Бе­бидж предполагал использовать перфорированные карточки (перфокарты) типа тех, которые применяются в управле­нии ткацким станком. Бебидж предусмотрел ввод в машину таблиц значений функций с контролем. Выходная информа­ция могла печататься, а также пробиваться на перфокартах,

что давало возможность при необходимости снова вводить ее в машину.

Таким образом, аналитическая машина Бебиджа была пер­вой в мире программно-управляемой вычислительной ма­шиной. Для этой машины были составлены и первые в мире программы. Первым программистом была дочь английского поэта Байрона - Августа Ада Лавлейс (1815-1852). В ее честь один из современных языков профаммирования называется «Ада».

Первой электронно-вычислительной машиной принято считать машину, разработанную в Пенсинвальском универ­ситете США. Эта машина ЭНИАК была построена в 1945 году, имела автоматическое программное управление. Недо­статком этой машины было отсутствие запоминающего уст­ройства для хранения команд.

Первой ЭВМ, обладающей всеми компонентами совре­менных машин, была английская машина ЭДСАК, постро­енная в 1949 году в Кембриджском университете. В запоми­нающем устройстве этой машины размещаются числа (запи­санные в двоичном коде) и сама программа. Благодаря числовой форме записи команд программы машина может производить различные операции.

Под руководством С.А.Лебедева (1902-1974) была раз­работана первая отечественная ЭВМ (электронная вычисли­тельная машина). МЭСМ выполняла всего 12 команд, номинальная скорость действий - 50 операций в секунду. Оперативная память МЭСМ могла хранить 31 семнадцати­разрядное двоичное число и 64 двадцатиразрядные команды. Кроме этого, имелись внешние запоминающие устройства. В 1966 году под руководством этого же конструктора была разработана большая электронно-счетная машина (БЭСМ).

Электронно-вычислительные машины используют раз­личные языки программирования - это система обозначе­ний для описания данных информации и программ (алго­ритмов).

Профамма на машинном языке имеет вид таблицы из цифр, каждая ее строчка соответствует одному оператору - машинной команде. При этом в команде, например, пер­вые несколько цифр являются кодом операции, т.е. указы­вают машине, что надо делать (складывать, умножать и т.д.), а остальные цифры указывают, где именно в памяти машины находятся нужные числа (слагаемые, сомножите­ли) и где следует запомнить результат операций (сумму произведений и т.д.).

Язык программирования задается тремя компонентами: алфавитом, синтаксисом и семантикой.

Большинство языков программирования (БЕЙСИК, ФОРТРАН, ПАСКАЛЬ, АДА, КОБОЛ, ЛИСП), разрабо­танных к настоящему времени, являются последовательны­ми. Профаммы, написанные на них, представляют собой последовательность приказов (инструкций). Они последова­тельно, один за другим, обрабатываются на машине при по­мощи так называемых трансляторов.

Производительность вычислительных машин будет повы­шаться за счет параллельного (одновременного) выполне­ния операций, тогда как большинство существующих язы­ков программирования рассчитано на последовательное вы­полнение операций. Поэтому будущее, видимо, за такими языками программирования, которые позволят описывать саму решаемую задачу, а не последовательность выполнения операторов.

Упражнения для самопроверки

Развитие... приборов в истории мате- счетных
матики происходило постепенно. От ис­
пользования частей собственного тела - пальцев руки
... - к использованию различных специ- абак
ально создаваемых устройств: ... линей- логарифмическая
ка, счеты, ... , аналитическая машина и вычислительная
электронно- ... машина.

Программами для... машин являются электронно-вычисли-

таблицы из цифр. тельных

Компонентами языков программирова­
ния являются алфавит, ... и семантика. синтаксис

§ 7. Становление, современное состояние и перспективы

развитая методики обучения элементам математики детей

дошкольного возраста

Вопросы математического развития детей дошкольного возраста своими корнями уходят в классическую и народ­ную педагогику. Различные считалки, пословицы, поговор­ки, загадки, потешки были хорошим материалом в обуче­нии детей счету, позволяли сформировать у ребенка поня­тия о числах, форме, величине, пространстве и времени. Например,

Этому дала, Этому дала И этому дала, А этому не дала:

Ты воды не носил, Дрова не рубил, Кашу не варил - Нет тебе ничего.

Первая печатная учебная книжка И.Федорова «Букварь» (1574 г.) включала мысли о необходимости обучения детей счету в процессе различных упражнений. Вопросы содержа­ния методов обучения математике детей дошкольного воз­раста и формирования у них знаний о размере, измерении, о времени и пространстве можно найти в педагогических тру­дах Я.А. Коменского, М.Г.Песталоцци, К.Д.Ушинского, Ф.Фребеля, Л.Н.Толстого и других.

Так, Я.А.Коменский (1592-1670) в книге «Материнская школа» рекомендует еще до школы обучать ребенка счету в пределах двадцати, умению различать числа большие-мень­шие, четные-нечетные, сравнивать предметы по величине, узнавать и называть некоторые геометрические фигуры, пользоваться в практической деятельности единицами изме­рения: дюйм, пядь, шаг, фунт и др.

В классических системах сенсорного обучения Ф.Фребеля (1782-1852) и М.Монтессори (1870-1952) представлена методика ознакомления детей с геометрическими фигура­ми, величинами, измерением и счетом. Созданные Фребелем «дары» и в настоящее время используются в качестве дидак­тического материала для ознакомления детей с числом, фор­мой, величиной и пространственными отношениями.

О значении обучения детей счету до школы неоднократ­но писал К.Д.Ушинский (1824-1871). Он считал важным научить ребенка считать отдельные предметы и их группы, выполнять действия сложения и вычитания, формировать понятие о десятке как единице счета. Однако все это было лишь пожеланиями, не имеющими никакого научного обо­снования.

Особое значение вопросы методики математического раз­вития приобретают в педагогической литературе начальной школы на рубеже XIX-XX ст. Авторами методических реко­мендаций тогда были передовые учителя и методисты. Опыт практических работников не всегда был научно обоснован-

ным, зато был проверен на практике. Со временем он усовер­шенствовался, сильнее и полнее в нем выявилась прогрессив­ная педагогическая мысль. В конце XIX - в начале XX столе­тия у методистов возникла потребность в разработке научного фундамента методики арифметики. Значительный вклад в раз­работку методики сделали передовые русские учителя и мето­дисты П.С.Гурьев, А.И.Гольденберг, Д.Ф.Егоров, ВАЕвту-шевский, ДД.Галанин и другие.

Первые методические пособия по методике обучения дош­кольников счету, как правило, были адресованы одновре­менно учителям, родителям и воспитателям. На основе опы­та практической работы с детьми В.А.Кемниц издала мето­дическое пособие «Математика в детском саду» (Киев, 1912), где основными методами работы с детьми предлагаются бе­седы, игры, практические упражнения. Автор считает необ­ходимым знакомить детей с такими понятиями, как: один, много, несколько, пара, больше, меньше, столько же, поровну, равный, такой же и др. Основной задачей является изучение чисел от 1 до 10, причем каждое число рассматривается от­дельно. Одновременно дети усваивают действия над этими числами. Широко используется наглядный материал.

В ходе бесед и занятий дети получают знания о форме, пространстве и времени, о делении целого на части, о вели­чинах и их измерении.

Вопросы о методах, содержании обучения детей счету и математическом развитии в целом, которые могли бы стать основой для успешного дальнейшего обучения их в школе, особенно остро дебатировались в дошкольной педагогике с момента создания широкой сети общественного дошкольно­го воспитания.

Наиболее крайняя позиция сводилась к запрещению лю­бого целенаправленного обучения математике. Наиболее чет­ко она отражена в работах К.ФЛебединцева. В книге «Разви­тие числовых представлений в раннем детстве» (Киев, 1923) автор пришел к выводу, что первые представления о числах в пределах 5 возникают у детей на основе различения групп предметов, восприятия множеств. А дальше, за пределами этих небольших совокупностей, основная роль в формиро­вании понятия числа принадлежит счету, который вытесня­ет симультанное (целостное) восприятие множеств. При этом он считал желательным, чтобы ребенок добывал знания в этот период «незаметно», самостоятельно. К такому выводу К.Ф.Лебединцев пришел на основе наблюдений за усвоени­ем детьми первых числовых представлений и овладением ими

счетом. Дети на самом деле очень рано начинают выделять некоторые небольшие группы однородных предметов и, под­ражая взрослым, называть это числом. Но эти знания еще неглубоки, не достаточно осознанны. Умения детей называть числа не всегда являются объективным показателем матема­тических способностей. И все-таки в 20-е годы многие мето­дисты, воспитатели приняли точку зрения К.Ф.Лебединце-ва. По их мнению, числовые представления возникают у ребенка главным образом благодаря целостному восприятию небольших групп однородных предметов, находящихся в окружающей среде (руки, ноги, ножки стола, колеса у ма­шины и т.д.). На этом основании считалось необязательным обучать детей счету.

Однако передовые педагоги-«дошкольники» в 20-30-е годы (Е.И.Тихеева, Л.К.Шлегер и др.) отмечали, что про­цесс формирования числовых представлений у детей очень сложный, и поэтому необходимо целенаправленно обучать их счету. Основным способом обучения детей счету призна­валась игра. Так, авторы книги «Живые числа, живые мысли и руки за работой» (Киев, 1920) Е.Горбунов-Пасадов и И.Цунзер писали, что в свою деятельность - игру ребенок пытается внедрить то, что ему интересно в данный момент. Поэтому ознакомление с элементами математики должно основызаться на активной деятельности ребенка. Считалось, что, играя, дети лучше усваивают счет, лучше знакомятся с числами и действиями над ними.

Большинство педагогов 20-30-х годов отрицательно от­носились к необходимости создания программ для детского сада, к целенаправленному обучению. В частности, Л.К.Шле­гер утверждала, что дети должны свободно выбирать себе занятия, по собственному желанию, т.е. каждый может де­лать то, что он задумал, выбирать соответствующий матери­ал, ставить себе цели и достигать их. Эта программа, по ее мнению, должна опираться на естественные наклонности и стремления детей. Роль воспитателя заключалась бы только в создании условий, способствующих самообучению детей. Л.К.Шлегер считала, что счет следует соединять с различ­ными видами деятельности ребенка, а воспитатель должен использовать различные моменты из жизни детей для уп­ражнений их в счете.

AFTER-POSTMODERNISM - современная (по­здняя) версия развития постмодернистской философии-в от­личие от постмодернистской классики деконструктивизма 2 страница

Способ наименования (называния) с помощью немногих слов любого натурального числа называется устной нумерацией.
Когда человек знал лишь несколько первых натуральных чисел, то естественно, что каждое число он назвал своим особым именем: "один", "два", "три" и т.д.
Тот способ устной нумерации, которым мы пользуемся в настоящее время, был выработан людьми постепенно в процессе многовековой практики счета. В основу современной устной нумерации положены следующие принципы:
Принцип поразрядного счета.
Назвать какое-то натуральное число - это тоже самое, что назвать результат счета единиц, содержащихся в этом числе. Очевидно, что если в данном числе содержится очень много единиц, то сосчитать их трудно и назвать результат счета сложно.
Представьте, что вам нужно пересчитать огромную кучу каких-то предметов (пуговиц, спичек и т.п.). Если считать их по одному предмету, то это займет очень много времени. Тогда поступают так. Разложим все предметы по коробкам так, чтобы в каждой коробке было одно и тоже число предметов. Затем если этих коробок окажется много, то разложим их по ящикам, причем так, чтобы в каждом ящике было столько коробок, сколько предметов было в одной коробке. Если и ящиков окажется много, то разложим их таким же образом по еще большим упаковкам и т.д.
При таком способе счета используется не одна единица счета, а много разных: сначала в качестве единицы счета используется сам предмет - это первая единица счета, затем коробка - это вторая единица, ящик - это третья единица и т.д.
Эти единицы счета называются разрядами, а число единиц одного разряда, составляющих единицу следующего разряда, называется основанием системы нумерации.
В той нумерации, которой мы пользуемся, основанием служит число 10 - число пальцев на обеих руках человека. Поэтому наша нумерация называется десятичной.
Чтобы назвать какое-либо число, используя принцип поразрядного счета, нужно назвать, сколько единиц каждого разряда содержится в этом числе. Например, 4 единицы 3-го разряда, 5 единиц 2-го разряда и 7 единиц 1-го разряда - четыреста пятьдесят семь.
Однако, когда приходится иметь дело с большими числами, обойтись одним принципом
поразрядного счета трудно, т.к. число разрядов может оказаться чересчур большим. Чтобы еще уменьшить число различных слов, нужно для именования чисел, вводя еще один принцип.
Принцип поклассного объединения разрядов.
Согласно этому принципу каждые три разряда, начиная с 1-го, объединяют в один класс: первые три разряда (единицы, десятки и сотни) объединяют в первый класс единиц, следующая Письменная нумерация.
Письменная нумерация – это способ, позволяющий с помощью небольшого числа особых знаков записывать любое натуральное число.
В устной нумерации нам нужны особые слова для обозначения первых девяти натуральных чисел, а также слово для обозначения второго и третьего разрядов каждого класса и всех классов, начиная со второго.
В десятичной письменной нумерации для записи любого натурального числа нужны в первую очередь знаки для записи первых девяти натуральных чисел. Эти знаки называются цифрами. А вот особых знаков для обозначения разрядов и классов в нашей системе письменной нумерации нет, они и не нужны, т.к. запись натуральных чисел ведется на основе следующего важнейшего принципа: один и тот же знак (цифра) обозначает одно и то же число единиц различных разрядов в зависимости от того, на каком месте в записи числа стоит этот знак.
Так, например, цифра 3 обозначает три единицы первого разряда, если эта цифра в записи числа стоит на первом месте справа, и та же цифра 3 обозначает три единицы пятого разряда, т.е. три десятка тысяч, если эта цифра стоит на пятом месте справа ие три разряда (с 4-го по 6-й) объединяют во второй класс тысяч, затем следующие три разряда (с 7-го по 9-й) - в класс миллионов, следующие три разряда (с 10-го по 12-й) - в класс миллиардов, или биллионов, затем идут классы триллионов, квадриллионов и т.д.

Тема: Изучение нумерации чисел.

План :

1. Цель и образовательные задачи изучения нумерации.

2. Последовательность изучения нумерации целых неотрицательных чисел.

3. Методика изучения нумерации.

Основные теоретические положения данного раздела.

В начальном курсе математики под нумерацией понимают совокупность приемов обозначения и наименования натуральных чисел .

Различают устную и письменную нумерацию.

Устная нумерация – совокупность правил, дающих возможность с помощью немногих слов составлять названия для многих чисел. В ходе изучения устной нумерации необходимо раскрыть правила счета, чтения, образования чисел; знать цифры от 0 до 9, слова – числительные – сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард.

Правила образования названий и чтения чисел.

1. Названия чисел от 10 до 20 образуются с использованием названий, принятых для первых десяти чисел, но имеет свою особенность – при чтении сначала называется нижний разряд, затем остальные. (один – на – дцать; две – на – дцать).

2. Остальные названия чисел образуются по принципу поразрядности; чтение чисел начинается с единиц высшего разряда.

3. При образовании и чтении многозначных чисел соблюдается принцип чтения по классам.

Письменная нумерация – это совокупность правил, дающих возможность с помощью немногих знаков обозначать любые числа. В ходе изучения письменной нумерации вводится понятие «цифры». Проводится целенаправленная систематическая работа по различению понятий «число» и «цифра». Вводятся знаки (цифры) для обозначения первых девяти чисел. Запись всех остальных чисел выполняется с использованием тех же десяти цифр (от 0 до 9), но с помощью двух или более цифр, значение которых зависит от места, которое занимает цифра в записи числа (т. е. поместное значение цифры или позиционный принцип записи чисел).

Устная и письменная нумерация чисел опирается на знание десятичной системы счисления.

Основные понятия десятичной системы счисления:

1. Счетная единица - то, что берем за основу счета. Каждая следующая счетная единица больше предшествующей в 10 раз (один десяток в 10 раз больше одной единицы; одна сотня в 10 раз больше одного десятка и т.д.).

2. Разряд – место цифры в записи числа.

3. Единицы I, II, III разряда и т. д.- единицы, стоящие на первом (единицы), втором (десятки), третьем (сотни) месте в записи числа, считая справа налево.

4. Разрядное число – число, состоящее из единиц одного разряда, например: 10,20,30,40,50,60… – числа, состоящие только из десятков (круглые десятки); 100, 200, 300, …- числа, состоящие только из сотен (круглые сотни); 1000, 2000, 3000 - числа, состоящие только из единиц тысяч (круглые единицы тысяч) и т.п.

5. Неразрядное число – число, состоящее из единиц разных разрядов, например, числа, состоящие из десятков и единиц (11,22,35,47,89); числа, состоящие из сотен и единиц (208, 406); состоящие из сотен и десятков (240, 560); состоящие из сотен, десятков и единиц (346, 683) и т.п.

6. Полные числа – числа, в которых имеются единицы всех разрядов, например, полное трехзначное число 134, четырехзначное 5674

7. Неполные числа – числа, в которых отсутствуют единицы того или иного разряда (в этом случае на их месте пишется нуль), например: неполные трехзначные числа 560, 404, неполные четырехзначные числа 1002, 1020, 1200, 1220 и т.п.

8. Класс – объединение по определенным признакам единиц трех разрядов. Каждая единица следующего класса больше предшествующей в тысячу раз. (Так, 1 единица класса единиц меньше в 1000 раз 1 единицы класса тысяч и т. д.)

В математике системой счисления называют набор знаков, правил операций и порядка записи этих знаков при образовании числа. Различают два типа систем счисления:

1. Непозиционная система, которая характеризуется тем, что каждому знаку независимо от формы записи числа приписывается одно вполне определенное значение (например, римская нумерация).

2. Позиционная система (например, десятичная система счисления), которая характеризуется следующими свойствами:

Каждая цифра принимает различные значения в зависимости от ее положения в записи числа (позиционный принцип записи);

Каждая цифра в зависимости от ее положения называется разрядной единицей; разрядные единицы следующие: единицы, десятки, сотни и т. д.

10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего разряда, т. е. соотношение разрядных единиц равно десяти (10 ед.= 1 дес.; 10 дес. = 1 сот. и т. д.)

Начиная, справа налево и подряд каждые 3 разрядные единицы образуют разрядные классы (единиц, тысяч, миллионов и др.).

Прибавление к девяти единицам еще одной единицы данного разряда дает единицу следующего, более высшего (старшего) разряда.

Свойства отрезка натурального ряда:

1. Натуральный ряд чисел начинается с единицы.

2. Каждое число имеет свое место. Каждое следующее число на единицу больше предыдущего; каждое предыдущее на единицу меньше последующего.

3. Все числа, стоящие до выделенного числа меньше его; все стоящие после – больше изученного числа.

4. Бесконечность натурального ряда чисел.

Цель и образовательные задачи изучения нумерации

Цель изучения нумерации – усвоение общих принципов, лежащих в основе десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации.

Основные образовательные задачи изучения нумерации:

1.Сформировать систему знаний:

О натуральном числе и числе «0»;

О натуральной последовательности чисел;

Об устной и письменной нумерации;

2.Ознакомить с вычислительными приемами, основанными на знании нумерации.

При изучении данной темы у учащихся должны быть сформированы следующие умения :

2. обозначать число письменно;

3. сравнивать любые числа разными способами;

4. заменять число суммой разрядных слагаемых;

5. дать характеристику любого числа.

У учащихся необходимо сформировать следующие знания и умения:

1. Выделить число из других понятий.

2. Правильно назвать число.

3. Знать способы образования числа (в результате счета; в результате измерения; в результате выполнения арифметических действий).

4. Знать способы обозначения чисел с помощью цифр.

5. Знать различные функции числа. (Количественная функция, функция порядка, измерительная функция.)