Деформация растяжения - вид деформации, при которой нагрузка прикладывается продольно от тела, то есть соосно или параллельно точкам крепления тела. Проще всего растяжение рассмотреть на буксировочном тросе для автомобилей. Трос имеет две точки крепления к буксиру и буксируемому объекту, по мере начала движения трос выпрямляется и начинает тянуть буксируемый объект. В натянутом состоянии трос подвергается деформации растяжения, если нагрузка меньше предельных значений, которые может он выдержать, то после снятия нагрузки трос восстановит свою форму.

Деформация растяжения является одним из основных лабораторных исследований физических свойств материалов. В ходе приложения растягивающих напряжений определяются величины, при которых материал способен:

1. воспринимать нагрузки с дальнейшим восстановлением первоначального состояния (упругая деформация)

2. воспринимать нагрузки без восстановления первоначального состояния (пластическая деформация)

3. разрушаться на пределе прочности

Данные испытания являются главными для всех тросов и веревок, которые используются для строповки, крепления грузов, альпинизма. Растяжение имеет значение также при строительстве сложных подвесных систем со свободными рабочими элементами.

Деформация сжатия

Деформация сжатия - вид деформации, аналогичный растяжению, с одним отличием в способе приложения нагрузки, ее прикладывают соосно, но по направлению к телу. Сдавливание объекта с двух сторон приводит к уменьшению его длины и одновременному упрочнению, приложение больших нагрузок образовывает в теле материала утолщения типа «бочка».

Деформация сжатия широко используется в металлургических процессах ковки металла, в ходе процесса металл получает повышенную прочность и заваривает дефекты структуры. Сжатие также важно при строительстве зданий, все элементы конструкции фундамента, свай и стен испытывают давящие нагрузки. Правильный расчет несущих конструкций здания позволяет сократить расход материалов без потери прочности.

Деформация сдвига

Деформация сдвига - вид деформации, при котором нагрузка прикладывается параллельно основанию тела. В ходе деформации сдвига одна плоскость тела смещается в пространстве относительно другой. На предельные нагрузки сдвига испытываются все крепежные элементы - болты, шурупы, гвозди. Простейший пример деформации сдвига – расшатанный стул, где за основание можно принять пол, а за плоскость приложения нагрузки – сидение.

Деформация изгиба

Деформация изгиба - вид деформации, при котором нарушается прямолинейность главной оси тела. Деформации изгиба испытывают все тела подвешенные на одной или нескольких опорах. Каждый материал способен воспринимать определенный уровень нагрузки, твердые тела в большинстве случаев способны выдерживать не только свой вес, но и заданную нагрузку. В зависимости от способа приложения нагрузки при изгибе различают чистый и косой изгиб.

Значение деформации изгиба важно для проектирования упругих тел, таких, как мост с опорами, гимнастический брус, турник, ось автомобиля и другие.

Деформация кручения

Деформация кручения – вид деформации, при котором к телу приложен крутящий момент, вызванный парой сил, действующих в перпендикулярной плоскости оси тела. На кручение работают валы машин, шнеки буровых установок и пружины.

Зако́н Гу́ка - уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком. Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

В словесной форме закон звучит следующим образом:

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь - сила, которой растягивают (сжимают) стержень, - абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а - коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения и длины ) явно, записав коэффициент упругости как

Величина называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука в относительных единицах запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Модуль Юнга (модуль упругости) - физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению/сжатию при упругой деформации . Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга. В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле - как функционал среды и процесса. В Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на метр в квадрате или в паскалях.

Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

· E - модуль упругости,

· F - сила,

· S - площадь поверхности, по которой распределено действие силы,

· l - длина деформируемого стержня,

· x - модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина l ).

Через модуль Юнга вычисляется скорость распространения продольной волны в тонком стержне:

где - плотность вещества.

деформация биоткань механический костный сосуд

Деформацией называется изменение взаимного расположения точек тела, которое сопровождается изменением его форм и размеров, обусловленное действием внешних сил на тело.

Виды деформации:

1. Упругая - полностью исчезает после прекращения действия внешних сил.

2. Пластическая (остаточная) - остается после прекращения действия внешних сил.

3. Упруго-пластическая - неполное исчезновение деформации.

4. Вязко-упругая - сочетание вязкого течения и эластичности.

В свою очередь упругие деформации бывают следующих видов:

а) деформация растяжения или сжатия происходит под действием сил, действующих в направлении оси тела:

Основные характеристики деформации

Деформация растяжения (сжатия) возникает в теле при действии силы, направленной вдоль его оси.

где l 0 - исходный линейный размер тела.

Дl - удлинение тела

Деформация е (относительное удлинение) определяется по формуле

е - безразмерная величина.

Мерой сил, стремящихся вернуть атомы или ионы в первоначальное положение является механическое напряжение у. При деформации растяжения напряжение у можно определить отношением внешней силы к площади поперечного сечения тела:

Упругая деформация подчиняется закону Гука:

где Е - модуль нормальной упругости (модуль Юнга - это механическое

напряжение, которое возникает в материале при увеличении

первоначальной длины тела в два раза).

Если живые ткани мало деформируется, то в них целесообразно определять не модуль Юнга, а коэффициент жесткости. Жесткость характеризует способность физической среды сопротивляться образованию деформаций.

Представим экспериментальную кривую растяжения:

ОА - упругая деформация, подчиняющася закону Гука. Точка В - это предел упругости т.е. максимальное напряжение при котором ещё не имеет место деформация, остающаяся в теле после снятия напряжения. ВД - текучесть (напряжение, начиная с которого деформация возрастает без увеличения напряжения).

Упругость, свойственную полимерам называют эластичностью.

Всякий обрзец, подвергнутый сжатию или растяжению вдоль его оси, деформируется так же и в перпендикулярном направлении.

Абсолютное значение отношения поперечной деформации к продольной деформации образца называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона и обозначается:

(безразмерная величина)

Для несжимаемых материалов (вязкотекучие пасты; резины) м=0,5; для большинства металлов м?0,3.

Величина коэффициента Пуассона при растяжении и сжатии одна и та же. Таким образом, определяя коэффициент Пуассона можно судить о сжимаемости материала.

Реологическое моделирование биотканей

Реология - это наука о деформациях и текучести вещества.

Упругие и вязкие свойства тел легко моделируются.

Представим некоторые реологические модели.

а) Модель упругого тела - это упругая пружина.

Напряжение, возникающее в пружине, определяется законом Гука:

Если упругие свойства материала одинаковы во всех направлениях, то он называется изотропным, если эти свойства неодинаковы - анизотропным.

б) Модель вязкой жидкости - это жидкость, находящаяся в цилиндре с поршнем, неплотно прилегающим к его стенкам или: - это поршень с отверстиями, который движется в цилиндре с жидкостью.

Для этой модели характерна прямо пропорциональная зависимость между возникающим напряжением у и скоростью деформации

где з - коэффициент динамической вязкости.

в) Реологическая модель Максвелла представляет собой последовательно соединенные упругий и вязкий элементы.

Работа отдельных элементов зависит от скорости нагрузки общего элемента.

Для упругой деформации выполняется закон Гука:

Скорость упругой деформации будет:

Для вязкой деформации:

тогда скорость вязкой деформации будет:

Общая скорость вязко-упругой деформации равна сумме скоростей упругой и вязкой деформаций.

Это есть дифференциальное уравнение модели Максвелла.

Вывод уравнения ползучести биоткани. Если к модели приложить силу, то пружина мгновенно удлиняется, а поршень движется с постоянной скоростью. Таким образом, на данный модели реализуется явление ползучести. Если F=const, то возникающее напряжение у=const, т.е. тогда из уравнения (3) получим.

Механическое воздействие на тело изменяет взаимное расположение его частиц. Деформация - изменение взаимного расположения точек тела, приводящее к изменению его формы и размеров.

При действии на тело внешней деформирующей силы расстояние между частицами меняется. Это приводит к возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы (ионы) в первоначальное положение. Мерой этих сил является механическое напряжение. Непосредственно напряжение не измеряется. В ряде случаев его можно вычислить через внешние силы, действующие на тело.

В зависимости от условий внешнего воздействия различают несколько способов деформирования, которые рассматриваются ниже.

Растяжение (сжатие)

К стержню (бруску) длиной l и площадью поперечного сечения S прикладывается сила F, направленная перпендикулярно сечению (рис. 11.1). В результате этого в теле возникает механическое напряжение о, которое в данном случае характеризуется отношением силы к площади поперечного сечения стержня (малое изменение площади поперечного сечения не учитывается):

В СИ механическое напряжение измеряется в паскалях (Па).

Рис. 11.1. Деформации растяжения и сжатия

Под действием приложенной силы длина стержня изменяется на некоторую величину ∆l , которая называется абсолютной деформацией. Величина абсолютной деформации зависит от первоначальной длины стержня, поэтому степень деформации выражают через отношение абсолютной деформации к первоначальной длине. Это отношение называется относительной деформацией (ε):

Относительная деформация - величина безразмерная. Иногда

ее выражают в процентах:

При небольшой величине относительной деформации связь между деформацией и механическим напряжением выражается законом Гука:

где Е - модуль Юнга, Па (модуль продольной упругости).

При упругой деформации напряжение прямо пропорционально величине деформации.

Модуль Юнга численно равен напряжению, увеличивающему длину образца в два раза (практически разрушение образцов наступает при значительно меньших напряжениях). В табл. 11.1 представлены значения модулей упругости некоторых материалов.

В большинстве случаев при растяжении или сжатии степень деформации в различных сечениях стержня различна. Это можно увидеть, если на поверхность тела нанести квадратную сетку. После деформирования сетка исказится. По характеру и величине этого искажения можно судить о распределении напряжения вдоль образца (рис. 11.2).

Таблица 11.1

Модуль упругости (модуль Юнга) некоторых материалов

Видно, что изменения формы ячеек сетки максимальны в средней части стержня и почти отсутствуют на его краях.

Сдвиг

Деформация сдвига возникает, если на тело действует касательная сила, приложенная параллельно закрепленному основанию (рис. 11.3). В этом случае направление смещения свободного основания параллельно приложенной силе и перпендикулярно боковой грани. В результате деформации сдвига прямоугольный параллелепипед превращается в косоугольный. При этом боковые грани смещаются на некоторый угол γ, называемый углом сдвига.

Рис. 11.2. Искажение квадратной сетки при растяжении стержня

Рис. 11.3 . Деформация сдвига

Абсолютная деформация сдвига измеряется величиной смещения свободного основания (∆l ). Относительная деформация сдвига определяется через тангенс угла сдвига tgγ, называемый относительным сдвигом. Так как угол у обычно мал, то можно считать

При сдвиге в образце возникает напряжение сдвига τ (касательное напряжение), которое равно отношению силы (F) к площади основания (S),параллельно которому действует сила:

При небольшой величине относительной деформации сдвига связь между деформацией и механическим напряжением выражается эмпирическим соотношением:

где G - модуль сдвига, Па.

Изгиб

Этот вид деформации характеризуется искривлением оси или срединной поверхности деформируемого объекта (балка, стержень) под действием внешних сил (рис. 11.4). При изгибе один наружный слой стержня сжимается, а другой наружный слой растягивается. Средний слой (называемый нейтральным) изменяет лишь свою форму, сохраняя длину. Степень деформирования бруска, имеющего две точки опоры, определяется по перемещению X, которое получает середина стержня. Величина А, называется стрелой прогиба.

Рис. 11.4. Деформации изгиба

Применительно к прямому брусу в зависимости от направления действующих сил изгиб называют продольным или поперечным. Продольный изгиб возникает под действием сил, направленных вдоль бруса и приложенных к его концам навстречу друг другу (рис. 11.5, а). Поперечный изгиб возникает под действием сил, направленных перпендикулярно, брусу и приложенных как к его концам, так и в средней части (рис. 11.5, б). Встречается также и смешанный продольно-поперечный изгиб (рис. 11.5, в).

Рис. 11.5. Различные виды изгиба: а) продольный, б) поперечный, в) продольно-поперечный

Кручение

Этот вид деформации характеризуется взаимным поворотом поперечных сечений стержня под влиянием моментов (пар сил), действующих в плоскости этих сечений. Кручение возникает, например, когда нижнее основание стержня закреплено, а верхнее основание поворачивают вокруг продольной оси, рис. 11.6.

При этом расстояние между различными слоями остается практически неизменным, но точки слоев, лежащих на одной вертикали, сдвинуты относительно друг друга. Этот сдвиг в разных местах будет различен. Например, в центре сдвига совсем не будет, по краям он будет максимальный. Таким образом, деформация кручения сводится к деформации сдвига, различному в разных частях, т. е. к неоднородному сдвигу.

Основание фиксировано

Рис. 11.6. Деформации кручения

Рис. 11.6, а. Устранение асимметрии лица с помощью лейкопластыря

Абсолютная деформация при кручении характеризуется углом поворота (φ) одного основания относительно другого. Относительная деформация (θ) равна отношению угла φ к длине стержня:

Сравнивания различные способы деформирования однородных тел, можно увидеть, что все они сводятся к комбинации растяжения (сжатия) и сдвига.

Пример

Для устранения асимметрии лица после травмы проводится лейкопластырное натяжение со здоровой стороны на больную, рис. 11.6, а.

Лейкопластырное натяжение направлено против тяги мышц здоровой кожи и осуществляется прочной фиксацией другого свободного конца пластыря к специальному шлему - маске, изготовленному индивидуально.

Виды деформации

Зависимость механического напряжения от относительной деформации для твердых тел при растяжении представлена на рис. 11.7.

Рис. 11.7. Зависимость напряжения от деформации - диаграмма растяжения

Участок ОВ соответствует упругой деформации, которая исчезает сразу после снятия нагрузки.

Точка В - предел упругости σ упр - напряжение, ниже которого деформация сохраняет упругий характер (т. е. справедлив закон Гука).

Участок ВМ соответствует пластической деформации, которая не исчезает после снятия нагрузки.

Участок MN соответствует деформации текучести, которая возрастает без увеличения напряжения. Напряжение, начиная с которого деформация становится текучей, называется пределом текучести.

Точка С - предел прочности σ п - механическое напряжение, при котором происходит разрушение образца. Предел прочности зависит от способа деформирования и свойств материала.

В области упругих деформаций (линейная область) связь между механическим напряжением и деформацией описывается законом Гука (11.2).

Прочность

Прочность - способность тел выдерживать без разрушения приложенную к ним нагрузку.

Прочность обычно характеризуют величиной предельного напряжения, вызывающего разрушение тела при данном способе деформирования.

Предел прочности - это предельное напряжение, при котором образец разрушается.

При различных способах деформирования значения предела прочности отличаются.

Ниже (табл. 11.2) это показано на примере бедренной кости некоторых биологических объектов.

Пластическая деформация – эффективный инструмент формирования структуры различных материалов. На ее особенностях основаны технологии обработки давлением, придание материалам особых свойств, создание наноматериалов.

Понятие деформации

Под термином «деформация» понимаются любые изменения структуры, формы, размеров тел. Она происходит под влиянием напряжений — сил, которые действуют на единицу площади сечения заготовок или деталей. Деформация металла обусловлена:

• внешними силами;
• усадкой;
• структурными превращениями;
• внутренними физико-механическими процессами.

Примеры прилагаемых к телу нагрузок:

• сжатие – нагрузка прикладывается соосно по направлению к телу;
• растяжение – возникает при продольном от тела приложении нагрузки (соосно или параллельно плоскости, в которой находятся точки крепления тела);
• изгиб – нарушение прямолинейности главной оси тела;
• кручение – возникает при приложении к телу крутящего момента.

Механизм и виды деформирования изучаются материаловедением, физикой твердого тела, кристаллографией.

Твердые тела подвержены двум видам деформации:

1. упругой;
2. пластической.

В таблице приведены сравнительные характеристики этих явлений.

Пластическое деформирование ведет к модификациям в структурах металлов и их сплавов, а, следовательно, к изменениям их свойств.

Механизм возникновения

Возникновение пластической деформации обусловлено процессами, имеющими кристаллографическую природу: скольжением; двойникованием; межзеренным перемещением.

Скольжение

Происходит под воздействием касательных напряжений. Проявляется в виде перемещения одной части кристалла относительно другой. Этот процесс, в пределах кристалла, называется линейной дислокацией. Когда линейная дислокация выходит из кристалла, на его поверхности возникает ступенька, равная одному периоду решетки. Увеличение напряжения ведет к перемещению новых атомных плоскостей. Образуются новые ступеньки единичных сдвигов на поверхности кристалла. Чтобы дислокация продвинулась, не требуется разрывать все атомные связи в плоскости скольжения. Межатомная связь разрывается только в краевой зоне дислокации.

Современная теория основана на положениях:

• последовательность распространения скольжения в плоскости сдвига;
• место возникновения скольжения – это область нарушения кристаллической решетки, возникающая при нагружении кристалла.

Одно из свойств металла – теоретическая прочность. Ее используют для характеристики сопротивления пластическому деформированию. Она определяется силами межатомных связей в кристаллических решетках и значительно превышает реальную. Так для железа прочность:

• 30 кг/мм — реальная;
• 1340 кг/мм — теоретическая.

Различие вызвано тем, что для движения дислокации разрушаются лишь связи между атомами, находящимися у края дислокации, а не все атомные связи. Для этого необходимы меньшие усилия.

Двойникование

Это процесс образования в кристалле областей с закономерно измененной ориентацией кристаллической структуры. Двойникованием достигается незначительная степень деформации.

Двойниковые образования возникают по одному из двух механизмов:

• являются зеркальной переориентацией структуры матрицы (материнского кристалла) в некоторой плоскости;
• путем поворота матрицы на определенный угол вокруг кристаллографической оси.

Двойникование свойственно кристаллам, имеющим решетки:

• гексагональную (магний, цинк, титан, кадмий);
• объемно-центрированную (железо, вольфрам, ванадий, молибден).

Склонность к нему повышается при увеличении скорости деформации и снижении температуры.

Двойникование в металлах с кубической гранецентрированной решеткой (алюминий, медь) — результат отжига заготовки, которая подверглась пластическому деформированию.

Межзеренное перемещение

Такое изменение структуры материала идет вод воздействием растягивающего усилия. Процесс, в первую очередь, начинается в зерне, в котором направление легкого скольжения совпадает с направлением действия нагрузки. Это зерно будет растягиваться. Соседние зерна при этом будут разворачиваться до того момента, когда в них направление легкого скольжения также совместится с направлением силы. После они начнут деформироваться.

Результат межзеренного перемещения – волокнистая структура материала. Его механические свойства неодинаковы в разных направлениях:

• пластичность выше в направлении, параллельном действию растягивающего усилия, чем в перпендикулярном направлении;
• прочность имеет высокие показатели поперек приложению усилия, в продольном направлении – показатели ниже.

Эта разница свойств называется анизотропия

Виды пластической деформации

В зависимости от температуры и скорости процесса различают такие виды пластической деформации:

1. Холодную.
2. Горячую.

В прокатном производстве этот тип деформации применяется для обработки давлением пластичных металлов, заготовок с малым сечением. Такие методы, как штамповка и волочение, позволяют достичь требуемой чистоты поверхности и обеспечить точность размеров.

Устранить изменения в структуре, которые появляются при холодной деформации, возможно термообработкой (отжигом).

При отжиге подвижность атомов повышается. В металле из множественных центров вырастают новые зерна, которые заменяют вытянутые, деформированные. Они характеризуются одинаковыми размерами во всех направлениях. Это эффект называется рекристаллизацией.

Горячая деформация

Горячая деформация имеет такие характерные признаки:

1. Температура, выше t рек.
2. Материал приобретает равноосную (рекристаллизованную) структуру.
3. Сопротивление материала деформированию ниже в десять раз, чем при холодной.
4. Отсутствует упрочнение.
5. Свойства пластичности более высокие, чем при холодной.

Благодаря этим обстоятельствам, технологии горячей деформации применяются при обработке давлением крупных заготовок, малопластичных и сложно деформируемых материалов, литых заготовок. При этом используется оборудование меньшей мощности, чем для холодной деформации.

Недостаток процесса — возникновение окалины на поверхности заготовок. Это снижает показатели качества и возможность обеспечения требуемых размеров.

Процессы, после которых структура образцов рекристаллизована частично с признаками упрочнения, называются неполной горячей деформацией. Она является причиной неоднородности структуры металла, пониженных механических и пластических характеристик. Регулированием соответствия скорости деформирующего воздействия и рекристаллизации, можно достичь условий, при которых рекристаллизация распространится во всем объеме обрабатываемой заготовки.

Рекристаллизация начинается после окончания деформирования. При значительных температурах описанные явления происходят за секунды.

Таким образом, особенности воздействия холодной деформации используются для улучшения рабочих характеристик изделий. Сочетанием горячей и холодной деформаций, режимов термообработки можно воздействовать на изменение этих свойств в требуемых пределах.

Получить беспористые объемные металлические наноматериалы можно технологиями интенсивной пластической деформации (ИПД). Их суть заключается в деформировании металлических заготовок:

• при относительно небольших температурах;
• при повышенном давлении;
• с высокими степенями деформации.

Это обеспечивает формирование гомогенной наноструктуры с большеугловыми границами зерен. Вопреки интенсивному воздействию, образцы не должны получать механические повреждения и разрушаться.

Технологии ИПД:

1. кручение (ИПДК);
2. разноканальное угловое прессование;
3. всесторонняя ковка;
4. мультиосевое деформирование;
5. знакопеременный изгиб;
6. аккумулированная прокатка.

Первые работы по созданию наноматериалов выполнены в 80х-90х годах ХХ века с использованием методов кручения и разноканального прессования. Первый метод применим для небольших образцов – получаются пластинки диаметром 10…20 мм и толщиной до 0,5 мм. Для того чтобы получить массивные наноконструкции используется второй метод, в основу которого положена деформация сдвигом.

Методы пластической деформации позволяют получать заготовки из стали, сплавов цветных металлов и других материалов (резина, керамика, пластмассы).

Они высокопроизводительные, позволяют обеспечить требуемое качество получаемых изделий, улучшить их механические свойства.

Может оказаться, что изображения, реально нами наблюдаемые, точно соответствуют изображениям алгебры Это обстоятельство упростит анализ. Ряд аналогичных ситуаций будет рассмотрен в части III (см. приложение).

Следует, однако, заметить, что в большинстве случаев мы можем наблюдать лишь искаженные варианты идеальных изображений в результате мы сталкиваемся с фундаментальной проблемой - каким образом возникают подобные деформации. Полный синтез образа требует определения механизма деформации. Оно необходимо также и на стадии анализа.

Обозначим через отображение алгебры изображений на множество изображений, которые могут наблюдаться. Элементы

будем называть деформированными изображениями.

Обычно число преобразований велико и заранее неизвестно, какое именно будет действовать. Символ Ф используется для обозначения множества всех преобразований.

До сих пор мы ничего не сказали о природе деформированных изображений. Простейшим является случай когда изображения относятся к тому же типу, что и идеальные изображения алгебры изображений В этом случае будем говорить об автоморфных деформациях, отображает алгебру изображений в самое себя.

В противном случае, при гетероморфных деформациях, множество может включать целый ряд различных типов, как мы убедимся в этой главе. Может оказаться, что также обладает структурой алгебры изображений, хотя и отличной от Следует подчеркнуть, что даже и в таком случае структуры эти могут резко отличаться и, следовательно, между существует принципиальное различие. Довольно часто мы будем сталкиваться со случаем при котором идеальные (недеформированные) изображения являются частными

случаями деформированных. Как правило, разрушает структуру, и поэтому будет менее структурированной, чем

В случае, когда а область определения часто будет расширяться от до причем область значений будет оставаться равной . В таком случае можно многократно применять последовательность и, естественно, обобщить до полугруппы преобразований.

Во многих случаях можно будет также расширять область определения преобразований подобия до Все сказанное можно объединить в виде условия, которое ниже в большинстве случаев будет выполняться. В данном разделе будем предполагать, что образует группу.

Определение 4.1.1. Механизм деформации называется регулярным, если

Автоморфные деформации представляют собой весьма частный случай регулярного множества Ф. Оба типа преобразований, будут определяться на одном и том же множестве. Их роли, однако, совершенно различны. Преобразования подобия обычно изменяют изображение систематически, и эти изменения интуитивно понятны. В тех случаях, когда группа, преобразования не приводят к потере информации, так как обратное преобразование восстанавливает исходное изображение. Деформации же, с другой стороны, могут исказить изображение до такой степени, что будет невозможно точно восстановить его. Деформации приводят к потере информации.

Взаимодействие преобразований подобия и деформаций играет существенную роль, и в связи с этим мы введем два свойства, выполнение которых существенно упрощает анализ образов.

Определение 4.1.2. Рассмотрим регулярный механизм деформации на алгебре изображений. Будем называть его

Следует заметить, что это жесткие условия и выполняются они не очень часто. Естественно, деформации явно ковариантны, если Ф - коммутативная полугруппа и Другой простой случай возникает, когда векторное пространство, образуется определенными на нем линейными операторами; при таких условиях деформации являются гомоморфными.

Пусть - метрическое пространство с расстоянием, удовлетворяющим следующим условиям:

Если влечет расстояние является определенным, однако это допущение будет вводиться не всегда.

Естественно потребовать, чтобы метрика соответствовала отношениям подобия в и обеспечиваться это будет двумя способами.

Определение 4.1.3. Будем называть расстояние определенное на регулярном

Исходя из заданного расстояния определим

В таком случае легко убедиться в том, что расстояние инвариантно, а расстояние полиостью инвариантно.

Иногда в основе деформации будет лежать некий физический механизм, реализация которого сопряжена с затратами мощности, энергии или какой-либо аналогичной физической величины, необходимой для преобразования идеального изображения в реально наблюдаемую форму. Мы воспользуемся более нейтральным термином и будем говорить о необходимом усилии,

Определение 4.1.4. Рассмотрим на регулярном пространстве деформации неотрицательную функцию обладающую следующими свойствами:

функция называется инвариантной функцией усилия. Если выполняется условие и условие

Если 3.5 - ковариантио, то условие выполняется автоматически. В результате приходим к следующей теореме:

Теорема 4.1.1. Пусть функция усилия является полностью инвариантной, и выполняется равенство

В таком случае является полностью инвариантным расстоянием.

Замечание. Мы молчаливо подразумевали, что соотношение рассматриваемое как уравнение относительно всегда имеет хотя бы одно решение. Если это не так, то соответствующее значение следует заменить на и может оказаться необходимым допустить значение для итогового расстояния. Это обстоятельство повлияет на доказательство лишь в незначительной степени.

Доказательство. Функция является симметрической относительно двух своих аргументов, и для доказательства неравенства треугольника рассмотрим фиксированные Если существуют такие, что

то, обозначив получаем

Отсюда на основании свойства определения 4.1.4 следует, что

откуда в свою очередь следует, что

Наконец, полная инвариантность получается из свойства определения 4.1.4, так как влечет т. е. Это означает, что расстояние является полностью инвариантным.

Если бы мы работали с функцией усилия обладающей лишь инвариантностью, то можно было бы утверждать только то, что результирующее расстояние инвариантно.

Введем вероятностную меру Р на некоторой -алгебре подмножеств . Это означет, что мы будем говорить о некоторых деформациях как более вероятных, чем другие. Нам также потребуются -алгебры и на Т и соответственно, такие, чтобы для любого подмножества Е в и для которых выполняется условие и соответственно, было справедливо

Для определенного деформированный аналог будет иметь на вероятностную меру

Введем теперь более общий и более интересный вариант ковариантных деформаций.

Определение 4.1.5. Регулярные деформации с вероятностной мерой Р называются ковариантными по вероятности, если для всякого преобразования подобия преобразования имеют на одно и то же распределение вероятностей.

В тех случаях, когда деформация сужает образ-соответствие на случайное подмножество Е (но не его значения), мы будем интерпретировать ковариантность по вероятности как равенство распределения вероятностей на множестве распределению вероятностей на случайном множестве Е.

При использовании этого определения для любого фиксированного можно записать, что

С другой стороны, если сотношение (4.1.12) выполняется для любых и Е, то деформации являются ковариантными по вероятности.

Важное следствие ковариантности по вероятности устанавливается следующей теоремой:

Теорема 4.1.2. Пусть деформации ковариантны по вероятности и образ, состоящий из классов эквивалентности по модулю

В таком случае, если Е представляет собой -инвариантное множество в то условные вероятности являются вполне определенными: не зависит от если .

Доказательство. Рассмотрим условную вероятность

где -некоторый прототип (см. (3.1.14)). В таком случае

ввиду того, что имеет место ковариантность по вероятности. С другой стороны,

так как Е является -инвариантным. Следовательно, константа, так что условная вероятность действительно является вполне определенной, поскольку она не зависит от того, какое изображение служит исходным при рассмотрении образа .

В противном случае нельзя было бы говорить о если, конечно, не ввести также вероятностную меру на алгебре идеальных изображений

К обсуждению, проведенному в данном разделе, следует добавить, что желательно выбирать алгебраическую, топологическую и вероятностную структуры таким образом, чтобы они допускали естественное взаимное согласование. Читатель, интересующийся тем, как это может быть сделано в рамках стандартной алгебраическо-топологической постановки, может обратиться к монографии автора (1963).

При выборе конкретного вида Р мы сталкиваемся с большими трудностями, чем те, которые связаны с теоретическими

аспектами меры. Выбор должен производиться в каждом случае отдельно таким образом, чтобы, используя доступные сведения из соответствующей предметной области, обеспечить достижение естественного компромисса: модель должна обеспечить достаточно точную аппроксимацию изучаемых явленнй и допускать в то же время возможность аналитического или численного решения. Тем не менее можно сформулировать несколько общих принципов, которые могут оказаться полезными при построении модели деформаций.

Во-первых, следует попытаться разложить , которое может быть довольно сложным пространством, на простые факторы Произведение может быть конечным, счетным или несчетным, как мы убедимся ниже. Иногда такое разбиение задается непосредственно, как, например, в случае, когда деформации сводятся к топологическому преобразованию опорного пространства, за которым следует деформация маски. Некоторую пользу можно извлечь также из того способа, при помощи которого алгебры изображений построены из элементарных объектов. Если рассматриваются изображения, конфигурации которых включают образующих, и все они идентифицируемы, то можно попробовать воспользоваться представлением

рассчитывая на то, что свойства факторов окажутся достаточно удобными. Этот метод будет работать, однако, только в том случае, когда образующие однозначно определяются изображением. Вместо этого можно попробовать воспользоваться соответствующим разбиением в применении к каноническим конфигурациям, образующие которых определены в рассматриваемой алгебре изображений.

После разделения на достаточно простые факторы необходимо решить, какую вероятностную меру следует ввести на При этом существенным моментом является выбор такого способа факторизации деформаций, при котором отдельные факторы оказываются независимыми друг от друга. Невозможно полностью задать Р, не располагая эмпирической информацией, и для того чтобы получить оценки с удовлетворительной точностью, аксиоматическая модель должна быть в достаточной степени структурирована. Это критический момент для определения Р, и здесь требуется такое понимание механизма деформации, которое исключит неадекватное представление данных при последующем анализе. Если нам действительно удалось провести разбиение таким образом, что факторы в вероятностном смысле независимы, остается еще решить задачу

определения на них безусловных распределении. В качестве примера рассмотрим идеальные образующие, порождаемые механизмом типа где можно рассматривать как разностный оператор, а деформированные образующие определяются выражением Первое, что следует попробовать - это допустить независимость значений различных аргументах). Если это не может быть принято в качестве адекватной аппроксимации, стоило бы попытаться устранить зависимость посредством работы не с а с некоторым ее преобразованием (например, линейным). Другими словами, можно выбирать модель таким образом, чтобы деформации принимали простую вероятностную форму. Отметим в качестве еще одного примера, что при работе с образами-соответствиями (см. разд. 3.5) и дискретным опорным пространством X можно попытаться промоделировать Р исходя из предположения о том, что различные точки X отображаются на опорное пространство независимо и что соответствующие распределения различны.

Для того чтобы сузить выбор безусловных распределений, рассмотрим роль преобразований подобия. Если, как и выше, выбрано удачно, то можно рассчитывать, что Р будет обладать соответствующей инвариантностью. Итак, если подобные идеальные изображения и то в первую очередь следует выяснить, не обладают ли одним и тем же распределением вероятностей. Можно также использовать другой подход: попробовать модель, постулирующую равенство распределений вероятностей этот путь приводит нас к ковариантности по вероятности.

С помощью этих методов можем определить аналитическую форму Р, и оценки свободных параметров получить эмпирически.

Механизмы деформации будут классифицироваться на основе двух критериев: уровня и типа.

Под уровнем механизма деформации мы будем подразумевать тот этап синтеза образов изображений, на котором определяется Высший уровень, уровень изображений, соответствует тому случаю, когда