Прямая пропорциональная зависимость. §36 Моделирование зависимостей между величинами
Cо всякой величиной связаны три основных свойства:
- имя,
- значение,
- тип.
Имя величины может быть смысловым и символическим . Пример смыслового имени - «давление газа», символическое имя для этой же величины - Р.
Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой . Пример константы - число Пифагора ¶=3,14259... . Величина, значение которой может меняться, называется переменной . Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота Н и время падения t.
Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин : числовой, символьный, логический. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин. Например, t (с) - время падения; Н (м) - высота падения.
Математические модели
Если зависимость между величинами удается представить в математической форме, то это математическая модель .
Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Это пример зависимости, представленной в функциональной форме. Эту зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню высоты).
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений.
Табличные и графические модели
Это другие, не формульные, способы представления зависимостей между величинами. Например, мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем.
| Эксперимент организуем следующим образом: будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента составим таблицу и нарисуем график. Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную ранее формулу зависимости высоты от времени, то формула превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то равенство не будет достигаться, а если надувной шарик, то значения левой и правой частей формулы будут различаться очень сильно. Как вы думаете, почему? |  |  |
Точно так же можно отобразить зависимость любого явления физической природы, описываемого известными формулами.
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели . В физике динамические информационные модели описывают движение тел, в биологии - развитие организмов или популяций животных, в химии - протекание химических реакций и т. д.
Модели статистического прогнозирования
Статистика
- наука о сборе, измерении и анализе массовых количественных данных.
Существуют медицинская статистика, экономическая статистика, социальная статистика и другие. Математический аппарат статистики разрабатывает наука под названием математическая статистика
.
| Например, наиболее сильное влияние на бронхиально-легочные заболевания оказывает угарный газ - .
Поставив цель определить эту зависимость, специалисты по медицинской
статистике проводят сбор данных. Полученные данные можно свести в таблицу, а также представить в виде точечной диаграммы.
А как построить математическую модель данного явления? Очевидно, нужно получить формулу, отражающую зависимость количества хронических больных Р от концентрации угарного газа С. На языке математики это называется функцией зависимости Р от С: Р(С). Вид такой функции неизвестен, ее следует искать методом подбора по экспериментальным данным. |  |  |
Отсюда следуют основные требования к искомой функции:
она должна быть достаточно простой для использования ее в дальнейших вычислениях;
график этой функции должен проходить вблизи экспериментальных точек так, чтобы отклонения этих точек от графика были минимальны и равномерны. Полученную функцию в статистике принято называть регрессионной моделью .
Метод наименьших квадратов
Получение регрессионной модели происходит в два этапа:
1) подбор вида функции;
2) вычисление параметров функции.
Первая задача не имеет строгого решения.
Чаще всего выбор производится среди следующих функций:
у = ах + b - линейная функция (полином 1-й степени);
у = ах 2 + bх + с - квадратичная функция
у = а n х n + a (n-1) х n-1 +...+ а 2 х 2 + a 1 х + a 0 - полином n-й степени ;
у = аln (х) + b - логарифмическая функция;
у = ае bх - экспоненциальная функция;
у = ах b - степенная функция.
После выбора одной из предлагаемых функций нужно подобрать параметры (а, b, с и пр.) так, чтобы функция располагалась как можно ближе к экспериментальным точкам, используя метод вычисления параметров. Такой метод был предложен в XVIII веке немецким математиком К. Гауссом. Он называется методом наименьших квадратов (МНК) и очень широко используется в статистической обработке данных и встроен во многие математические пакеты программ. Важно понимать следующее: методом наименьших квадратов по данному набору экспериментальных точек можно построить любую функцию. А вот будет ли она нас удовлетворять, это уже вопрос критерия соответствия. Для нашего примера рассмотрим три функции, построенные методом наименьших квадратов.
Данные рисунки получены с помощью табличного процессора Microsoft Excel. График регрессионной модели называется трендом .
Английское слово «trend» можно перевести как «общее направление», или «тенденция».
График линейной функции - это прямая. По этому графику трудно что-либо сказать о характере этого роста. А вот квадратичный и экспоненциальный тренды правдоподобны.
На графиках присутствует величина, полученная в результате построения трендов. Она обозначена как R 2 . В статистике эта величина называется коэффициентом детерминированности . Именно она определяет, насколько удачной является полученная регрессионная модель. Коэффициент детерминированности всегда заключен в диапазоне от 0 до 1. Чем R 2 ближе к 1, тем удачнее регрессионная модель.
Из трех выбранных моделей значение R 2 наименьшее у линейной. Значит, она самая неудачная. Значения же R 2 у двух других моделей достаточно близки (разница меньше 0,01). Они одинаково удачны.
Прогнозирование по регрессионной модели
Получив регрессионную математическую модель можно прогнозировать процесс путем вычислений, т.е.оценить уровень заболеваемости астмой не только для тех значений, которые были получены путем измерений, но и для других значений.
Если прогноз производится в пределах экспериментальных значений, то это называется восстановлением значения
.
Прогнозирование за пределами экспериментальных данных называется экстраполяцией.
Имея регрессионную модель, легко прогнозировать, производя расчеты с помощью электронных таблиц.
В ряде случаев с экстраполяцией надо быть осторожным. Применимость всякой регрессионной модели ограничена, особенно за пределами
экспериментальной области. В нашем примере при экстраполяции не следует далеко уходить от величины 5 мг/м 3 . Что будет вдали от этой области, мы не знаем. Всякая экстраполяция держится на гипотезе: «предположим, что за пределами экспериментальной области закономерность сохраняется». А если не сохраняется?
Например, квадратичная модель в нашем примере при концентрации, близкой к 0, выдаст 150 человек больных, т. е. больше, чем при 5 мг/м 3 . Очевидно, это нелепость. В области малых значений С лучше работает экспоненциальная модель. Кстати, это довольно типичная ситуация: разным областям данных могут лучше соответствовать разные модели.
Моделирование корреляционных зависимостей
Пусть важной характеристикой некоторой сложной системы является фактор А. На него могут оказывать влияние одновременно многие другие факторы: B,C,D и т. д.
Зависимости между величинами, каждая из которых подвергается неконтролируемому полностью разбросу, называются корреляционными зависимостями.
Раздел математической статистики, который исследует такие зависимости, называется корреляционным анализом. Корреляционный анализ изучает усредненный закон поведения каждой из величин в зависимости от значений другой величины, а также меру такой зависимости.
Оценку корреляции величин начинают с высказывания гипотезы о возможном характере зависимости между их значениями. Чаще всего допускают наличие линейной зависимости. В таком случае мерой корреляционной зависимости является величина, которая называется коэффициентом корреляции .
коэффициент корреляции (обычно обозначаемый греческой буквой ρ ) есть число из диапазона от -1 до +1;
если ρ по модулю близко к 1, то имеет место сильная корреляция, если к 0, то слабая;
близость ρ к +1 означает, что возрастанию значений одного набора соответствует возрастание значений другого набора, близость к -1 означает, что возрастанию значений одного набора соответствует убывание значений другого набора;
значение ρ легко найти с помощью Excel, так как в эту программу встроены соответствующие формулы.
| В качестве примера сложной системы
рассмотрим школу. Пусть хозяйственные расходы школы выражаются
количеством рублей, отнесенных к числу учеников в школе (руб./чел.),
потраченных за определенный период времени (например, за последние 5
лет). Успеваемость же пусть оценивается средним баллом учеников школы по
результатам окончания последнего учебного года. Итоги сбора данных по 20 школам, введенные в электронную таблицу и точечная диаграмма представлены на рисунках. Значения обеих величин: финансовых затрат и успеваемости учеников - имеют значительный разброс и, на первый взгляд, взаимосвязи между ними не видно. Однако она вполне может существовать. В Excel функция вычисления коэффициента корреляции называется КОРРЕЛ и входит в группу статистических функций. Покажем, как ею воспользоваться. На том же листе Excel, где находится таблица, надо установить курсор на любую свободную ячейку и запустить функцию КОРРЕЛ. Она запросит два диапазона значений. Укажем, соответственно, В2:В21 и С2:С21. После их ввода будет выведен ответ: р = 0,500273843. Эта величина говорит о среднем уровне корреляции. Теперь рассмотрим какой параметр из 2-х: оснащённость учебниками или компьютерами является коррелирующим в большей степени, т.е. имеет большее влияние на успеваемость Ниже на рисунке приведены результаты измерения обоих факторов в 11 разных школах. Для обеих зависимостей получены коэффициенты линейной корреляции. Как видно из таблицы, корреляция между обеспеченностью учебниками и успеваемостью сильнее, чем корреляция между компьютерным обеспечением и успеваемостью (хотя и тот, и другой коэффициенты корреляции не очень большие). Отсюда можно сделать вывод, что пока еще книга остается более значительным источником знаний, чем компьютер. |  |
 |  |
Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.
Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости:
1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени;
2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины;
3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества.
Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров».
Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.
1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?
(Рассуждаем так:
1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше деталей, тем больше металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.
Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):
12:10=х:3,5
Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:
Значит, потребуется 4,2 кг металла.
Ответ: 4,2 кг.
2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани?
(1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.
3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой).
Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):
15:12=1680:х
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции:
Значит, 12 метров стоят 1344 рубля.
Ответ: 1344 рубля.
Зависимость одной случайной величины от значений, которые прини- мает другая случайная величина (физическая характеристика), в статистике принято называть регрессией. В случае если этой зависимости придан аналитический вид, то такую форму представления изображают уравнением регрессии.
Процедура поиска предполагаемой зависимости между различными числовыми совокупностями обычно включает следующие этапы:
установление значимости связи между ними;
возможность представления этой зависимости в форме математиче- ского выражения (уравнения регрессии).
Первый этап в указанном статистическом анализе касается выявления так называемой корреляции, или корреляционной зависимости. Корреляция рассматривается как признак, указывающий на взаимосвязь ряда числовых последовательностей. Иначе говоря, корреляция характеризует силу взаимосвязи в данных. В случае если это касается взаимосвязи двух числовых массивов xi и yi, то такую корреляцию называют парной.
При поиске корреляционной зависимости обычно выявляется вероятная связь одной измеренной величины x (для какого-то ограниченного диапазона ее изменения, к примеру от x1 до xn) с другой измеренной величиной y (также изменяющейся в каком-то интервале y1 … yn). В таком случае мы будем иметь дело с двумя числовыми последовательностями, между которыми и надлежит установить наличие статистической (корреляционной) связи. На этом этапе пока не ставится задача определить, является ли одна из этих случайных величин функцией, а другая – аргументом. Отыскание количественной зависимости между ними в форме конкретного аналитического выражения y = f(x) - это задача уже другого анализа, регрессионного.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных х и у, а регрессионный анализ используется для прогнозирования одной переменной (у) на основании другой (х). Иными словами, в этом случае пытаются выявить причинно-следственную связь между анализируемыми совокупностями.
Строго говоря, принято различать два вида связи между числовыми совокупностями - ϶ᴛᴏ может быть функциональная зависимость или же статистическая (случайная). При наличии функциональной связи каждому значению воздействующего фактора (аргумента) соответствует строго определенная величина другого показателя (функции), ᴛ.ᴇ. изменение результативного признака всецело обусловлено действием факторного признака.
Аналитически функциональная зависимость представляется в следую-щем виде: y = f(x).
В случае статистической связи значению одного фактора соответствует какое-то приближенное значение исследуемого параметра, его точная величина является непредсказуемой, непрогнозируемой, в связи с этим получаемые показатели оказываются случайными величинами. Это значит, что изме-нение результативного признака у обусловлено влиянием факторного признака х лишь частично, т.к. возможно воздействие и иных факторов, вклад которых обозначен как є: y = ф(x) + є.
По своему характеру корреляционные связи - ϶ᴛᴏ соотносительные связи. Примером корреляционной связи показателей коммерческой деятельности является, к примеру, зависимость сумм издержек обращения от объема товарооборота. В этой связи помимо факторного признака х (объема товарооборота) на результативный признак у (сумму издержек обращения) влияют и другие факторы, в том числе и неучтенные, порождающие вклад є.
Для количественной оценки существования связи между изучаемыми совокупностями случайных величин используется специальный статистический показатель – коэффициент корреляции r.
В случае если предполагается, что эту связь можно описать линейным уравне- нием типа y=a+bx (где a и b - константы), то принято говорить о существовании линейной корреляции.
Коэффициент r - это безразмерная величина, она может меняться от 0 до ±1. Чем ближе значение коэффициента к единице (неважно, с каким знаком), тем с большей уверенностью можно утверждать, что между двумя рассматриваемыми совокупностями переменных существует линейная связь. Иными словами, значение какой-то одной из этих случайных величин (y) существенным образом зависит от того, какое значение принимает другая (x).
В случае если окажется, что r = 1 (или -1), то имеет место классический случай чисто функциональной зависимости (ᴛ.ᴇ. реализуется идеальная взаимосвязь).
При анализе двумерной диаграммы рассеяния можно обнаружить различные взаимосвязи. Простейшим вариантом является линейная взаимосвязь, которая выражается в том, что точки размещаются случайным образом вдоль прямой линии. Диаграмма свидетельствует об отсутствии взаимосвязи, если точки расположены случайно, и при перемещении слева направо невозможно обнаружить какой-либо уклон (ни вверх, ни вниз).
В случае если точки на ней группируются вдоль кривой линии, то диаграмма рассеяния характеризуется нелинейной взаимосвязью. Такие ситуации вполне возможны
Конспект урока по информатике и ИКТ в 11 классе
Самарин Александр Александрович, учитель информатики МБОУ Савинской СОШ, п. Савино, Ивановской области.Тема: «Моделирование зависимостей между величинами».
Описание материала: данный конспект урока будет полезен учителям информатики и ИКТ, реализующих общеобразовательные программы в 11 классах. В ходе урока обучающиеся знакомятся с математическим моделированием и способами моделирования величин. Данный урок является вводным к теме «Технологии информационного моделирования».
Цель: создание условий для овладения детьми знаниями математического моделирования и закрепить умения работы в программе Microsoft Exсеl.
Задачи:
- сформировать знания о математическом моделировании;
- закрепить навыки работы в программе Microsoft Exсel.
Планируемые результаты:
Предметные:
- сформировать представления о математическом моделировании;
- сформировать представления о функциональном, табличном и графическом способах моделированиях.
Метапредметные:
- сформировать умения и навыки использования средств информационных и коммуникационных технологий для создания табличных и графических моделей;
- сформировать навыки рационального использования имеющихся инструментов.
Личностные:
- понимать роль фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий.
Ход урока:
Организационный момент и актуализация знаний
Учитель: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы с вами начинаем новую большую тему «Технологии информационного моделирования». Но сначала давайте запишем домашнее задание § 36, вопросы 1,3 подготовить устно, вопрос №2 письменно в тетради». На экран проецируется домашнее задание.
Дети открывают дневники и записывают задание. Учитель объясняет домашнее задание.
Учитель: «Ребята, давайте вспомним, что такое «Модель», «Моделирование», «Компьютерное моделирование». На экран проецируется слайд «Давайте вспомним».
Дети: «Модель – это объект-заменитель, который в определенных условиях может заменять объект-оригинал. Модель воспроизводит интересующие нас свойства и характеристики оригинала.
Моделирование – это построение моделей, предназначенных для изучения и исследования объектов, процессов или явлений.
Компьютерное моделирование – это моделирование, реализующееся с помощью компьютерной техники».
Учитель: «Как вы думаете, а что такое математическое моделирование? Что оно собой представляет?»
Дети: «Это модели, построенные с помощью математических формул».
Учитель: «Приведите примеры математической модели».
Дети приводят примеры различных формул.
Учитель: «Давайте рассмотрим пример. На экран проецируются примеры.
«Время падения тела зависит от его первоначальной высоты. Уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе». На слайде приведены зависимости одних величин от других. Тема нашего сегодняшнего занятия «Моделирование зависимостей между величинами». На экран проецируется тема занятия «Моделирование зависимостей между величинами».
Дети записывают тему в тетрадь.
Изучение нового материала
Учитель: «Чтобы реализовать математическую модель на компьютере необходимо владеть приемами представления зависимостей между величинами. Рассмотрим различные методы представления зависимостей. Любое исследование необходимо начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами. На экран проецируется определение «величины».
Давайте вспомним, какими тремя основными свойствами обладает величина?»
Дети: «Имя, значение, тип»
Учитель: «Правильно. Имя величины может быть смысловым и символическим. Например, «время» - это смысловое имя, а «t» - символическое имя. Ребята, приведите примеры смыслового и символического имен». На экран проецируются виды имён и их примеры.
Примеры детей.
Учитель: «Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы – скорость света в вакууме – с = 2,998*10^8м/с. На экран проецируются значения величины.
А какие постоянные величины вы знаете, ребята?»
Ответы детей.
Учитель: А как вы думаете, какая величина называется переменной?
Ответы детей.
Учитель: Итак, переменная величина – величина, значение которой может меняться. Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота H и время падения t.
Третьим свойством величины является ее тип. Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Мы будем рассматривать величины, числового типа. На экран проецируются основные типы величин.
А теперь вернемся, к примеру, падения тела на землю. Обозначим все переменные величины, также укажем их размерности (размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин). Итак, t (с) – время падения, Н (м) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с2) будем считать константой. В данном примере зависимость между величинами является полностью определенной: значение Н однозначно определяет значение t. На экран проецируется пример 1.
Теперь подробнее рассмотрим пример про уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой. Загрязнённость воздуха будем характеризовать концентрацией примесей – С (мг/м2), уровень заболеваемости – число хронически больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города – Р (бол./тыс.). В данном примере зависимость между значениями носит более сложный характер, так как при одном и том же уровне загрязнённости в разные месяцы в одном и том же городе уровень заболеваемости может быть разным, так как на него влияют и другие факторы. На экран проецируется пример 2.
Рассмотрев два этих примера, делаем вывод, в первом примере зависимость является функциональной, а во втором нет. Если зависимость между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель. На экран проецируется вывод.
Математическая модель – это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики. Первый пример отражает физический закон. Данная зависимость является корневой. В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнения или систем уравнений. Во втором примере зависимость можно представить не в функциональной форме, а в иной (это мы будем рассматривать на следующих уроках). На экран проецируется, что отражает пример 1.
Пример падения тела рассмотрим в табличном и графическом виде. Проверим закон всемирного падения тела экспериментальным путем (в табличном и графическом виде). Будем бросать стальной шарик с шести метровой высоты, 9 метровой и так далее (через 3 метра), замеряя начальную высоту положения шарика и время падения. По результатам составим таблицу и нарисуем график. На экран проецируется график и таблица примера 1.
Если каждую пару значений H и t из данной таблицы подставить в формулу для первого примера, то формула превратится в равенство. Значит, модель работает хорошо.
В данном примере рассмотрено три способа моделирования величин: функциональный (формула), табличный и графический; однако математической моделью процесса можно назвать только формулу. На экран проецируются способы моделирования.
Ребята, а как вы думаете, какой способ моделирования наиболее универсальный? На экран проецируется вопрос.
Формула более универсальна, она позволяет определить время падения тела с любой высоты; имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график.
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, называются динамическими моделями. В физике динамические модели описывают движение тел, в биологии – развитие организмов или популяций животных, в химии – протекание химических реакций и т.д.»
Физкультминутка
Учитель: «А сейчас немножко отдохнем. Ребята, сядьте поудобнее на стул, расслабьтесь, расправьте плечи, прогните спину, потянитесь, повертите головой, «поболтайте ножками». А теперь, не поворачивая головы, посмотрите направо, налево, вверх, вниз. А сейчас следить за движения моей руки». Учителя водит рукой в разные стороны.
Практическая работа
Учитель: «Ребята, а теперь полученные знания мы закрепим практической работой на компьютере». На экран проецируется задание на практическую работу.
Задание
Постройте табличную и графическую зависимости скорости от времени
v=v0+a*t, если известно, что при t = 2 с, v = 8 м/с. Первоначальная скорость v0 равняется 2 м/с.
Ребята выполняют задание в программе Microsoft Excel. Затем задание проверяется. На экран проецируется правильный ответ к практической работе.
Рефлексия и подведение итогов
Учитель: «Ребята, что сегодня вы узнали нового? Что было для вас тяжело? С какими затруднениями вы столкнулись при выполнении практической работы?» На экран проецируется рефлексия.
Ответы детей.
Учитель: «Спасибо за работу на уроке. До свидания».
Зависимость одной случайной величины от значений, которые прини- мает другая случайная величина (физическая характеристика), в статистике называется регрессией. Если этой зависимости придан аналитический вид, то такую форму представления изображают уравнением регрессии.
Процедура поиска предполагаемой зависимости между различными числовыми совокупностями обычно включает следующие этапы:
установление значимости связи между ними;
возможность представления этой зависимости в форме математиче- ского выражения (уравнения регрессии).
Первый этап в указанном статистическом анализе касается выявления так называемой корреляции, или корреляционной зависимости. Корреляция рассматривается как признак, указывающий на взаимосвязь ряда числовых последовательностей. Иначе говоря, корреляция характеризует силу взаимосвязи в данных. Если это касается взаимосвязи двух числовых массивов xi и yi, то такую корреляцию называют парной.
При поиске корреляционной зависимости обычно выявляется вероятная связь одной измеренной величины x (для какого-то ограниченного диапазона ее изменения, например от x1 до xn) с другой измеренной величиной y (также изменяющейся в каком-то интервале y1 … yn). В таком случае мы будем иметь дело с двумя числовыми последовательностями, между которыми и надлежит установить наличие статистической (корреляционной) связи. На этом этапе пока не ставится задача определить, является ли одна из этих случайных величин функцией, а другая – аргументом. Отыскание количественной зависимости между ними в форме конкретного аналитического выражения y = f(x) - это задача уже другого анализа, регрессионного.
Таким образом, корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных х и у, а регрессионный анализ используется для прогнозирования одной переменной (у) на основании другой (х). Иными словами, в этом случае пытаются выявить причинно-следственную связь между анализируемыми совокупностями.
Строго говоря, принято различать два вида связи между числовыми совокупностями – это может быть функциональная зависимость или же статистическая (случайная). При наличии функциональной связи каждому значению воздействующего фактора (аргумента) соответствует строго определенная величина другого показателя (функции), т.е. изменение результативного признака всецело обусловлено действием факторного признака.
Аналитически функциональная зависимость представляется в следую-щем виде: y = f(x).
В случае статистической связи значению одного фактора соответствует какое-то приближенное значение исследуемого параметра, его точная величина является непредсказуемой, непрогнозируемой, поэтому получаемые показатели оказываются случайными величинами. Это значит, что изме-нение результативного признака у обусловлено влиянием факторного признака х лишь частично, т.к. возможно воздействие и иных факторов, вклад которых обозначен как є: y = ф(x) + є.
По своему характеру корреляционные связи – это соотносительные связи. Примером корреляционной связи показателей коммерческой деятельности является, например, зависимость сумм издержек обращения от объема товарооборота. В этой связи помимо факторного признака х (объема товарооборота) на результативный признак у (сумму издержек обращения) влияют и другие факторы, в том числе и неучтенные, порождающие вклад є.
Для количественной оценки существования связи между изучаемыми совокупностями случайных величин используется специальный статистический показатель – коэффициент корреляции r.
Если предполагается, что эту связь можно описать линейным уравне- нием типа y=a+bx (где a и b - константы), то принято говорить о существовании линейной корреляции.
Коэффициент r - это безразмерная величина, она может меняться от 0 до ±1. Чем ближе значение коэффициента к единице (неважно, с каким знаком), тем с большей уверенностью можно утверждать, что между двумя рассматриваемыми совокупностями переменных существует линейная связь. Иными словами, значение какой-то одной из этих случайных величин (y) существенным образом зависит от того, какое значение принимает другая (x).
Если окажется, что r = 1 (или -1), то имеет место классический случай чисто функциональной зависимости (т.е. реализуется идеальная взаимосвязь).
При анализе двумерной диаграммы рассеяния можно обнаружить различные взаимосвязи. Простейшим вариантом является линейная взаимосвязь, которая выражается в том, что точки размещаются случайным образом вдоль прямой линии. Диаграмма свидетельствует об отсутствии взаимосвязи, если точки расположены случайно, и при перемещении слева направо невозможно обнаружить какой-либо уклон (ни вверх, ни вниз).
Если точки на ней группируются вдоль кривой линии, то диаграмма рассеяния характеризуется нелинейной взаимосвязью. Такие ситуации вполне возможны