Калинин Сергей Иванович,доктор педагогических наук, заведующий кафедрой математического анализа и методики обучения математике ФГБОУ ВПО Вятскийгосударственныйгуманитарныйуниверситет»,г. Киров[email protected]

Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач

Аннотация. В статье рассматривается новое доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметикогеометрических средних положительных чисел, использующее метод прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения простого и обобщенного неравенств Коши при решении задач повышенного уровня сложности школьного курса математики.Ключевые слова: средние арифметическое и геометрическое, неравенство Коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики.

Напомним читателю упоминаемое в заголовке неравенство для средних арифметического и геометрического положительных чисел. Это есть неравенство

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда. Данное неравенство было открыто великим французским математиком Огюстеном Луи Коши в 1821г. и потому по праву носит его имя. В образовательной математике неравенство Коши хорошо известно, оно регулярно обсуждается на страницах научнометодических и научнопопулярныхизданий, с его помощью эффективно решаются многие задачи на доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, геометрических соотношений, на решение уравнений и их систем, на нахождение наибольшего и наименьшего значений переменных величин, атакже геометрических экстремумов.Наряду с неравенством 1 в тематике средних величин часто рассматривается и так называемое обобщенное, или весовоенеравенство Коши

где, –взвешенные среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел

соответственно, а

–числа, называемые весами. В 2 равенство снова достигается только при условии.Ясно, что неравенство 1 получается из 2 при совпадении всех весов.В учебном пособии по спецкурсу 1] мы рассмотрели не один десяток доказательств неравенств 1–2, использующих принципиально различные подходы. В частности, в § 2 главы 3 цитируемого пособия приводится индуктивное доказательство неравенства 1, приписываемое самому Коши. Подчеркнем, что доказательство Коши основывается на методе прямой и обратной индукции подругому, индукции вверх и вниз 2, с. 13–14], или ветвящейся» индукции 3, глава 9 И. С. Рубанова, с. 105]. Его суть состоит в том, что после установления базы индукции для переходом от к неравенство 1 доказывается для всехn, являющихся степенями двойки что соответствует прямой индукции. Затем показывается, что справедливость неравенства 1 для nчисел, влечет его выполнение и для n–1 чисел обратная индукция. В настоящей заметке мы описанную технику Коши при установлении 1 хотим реализовать иначе. Выполним это, нацеливаясь одновременно на обоснование неравенства 2, обобщающего 1.Сначала установим базу индукции, т. е. покажем, что справедливо неравенство

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда.Для доказательства 3 применим неравенство Иенсена 4, с. 58]

для вогнутой выпуклой вверх функции, полагая

Будем иметь:,

равенство в последнем соотношении достигается только при условии логарифмическая функция не есть линейная функция. Отсюда следует неравенство 3 вместе с обоснованием условий достижения в нем равенства. База индукции установлена.Предположим теперь, что неравенство 2 справедливо для, т. е.

при этом равенство в 4 достигается тогда и только тогда, когда. Покажем, что неравенство 2 будет иметь место и для, при этом равенство в нем будет достигаться только, если. Имеем:

в цепочке преобразований сначала мы дважды применили оценку снизу на основании индуктивного предположения, а затем еще одну аналогичную оценку –на основании базы индукции. Нетрудно видеть, что равенство в соотношении будет достигаться толькотогда, когда, и, т.е. при условии. Нужное показано.С учетом базы реализованная прямая индукция позволяет заключить, что неравенство 2 справедливо для всех n, являющихся степенями двойки. Реализуем обратную индукцию.Предположим, что неравенство 2 справедливо для некоторого. Покажем, что оно будет выполняться и при. Действительно, в неравенстве положим. Будем иметь:

Отсюда следует, что

Легко видеть, что равенство в последнем неравенстве будет иметь место только при совпадении всех чисел. Неравенство 2 полностью обосновано.Замечание. Предлагаем читателю реализовать подход Коши к доказательству неравенства 1 в отношении обобщенного неравенства 2.Рассмотрим несколько применений неравенств 1–(2).Задача 15]. Докажите неравенство, . Решение. Данное неравенство можно доказать как с помощью простого неравенства Коши1, так и обобщенного 2, потому рассмотрим два способа решения задачи.Iспособ.

В цепочке соотношений трижды применялось неравенство Коши 1 для двух положительных чисел. IIспособ.. Здесь применяется неравенство Коши 2 к величинам с весами 1, 3, 4. Второе решение задачи –экономичнее.Задача 26]. Докажите неравенство (N) .Решение. По обобщенному неравенству Коши можно записать:

В произведенной оценке знак неравенства строгий, так как числа являются различными. Отсюда следует доказываемое неравенство.Задача 37]. Докажите, что.Решение. В силу неравенства Коши 1, имеем оценку:

Задача 4.Для треугольника со сторонами докажите неравенство

где p–полупериметр треугольника.

Решение. Используя неравенство Коши для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического величин cвесами 1, 2, 3, 1, 2, 3, имеем оценку:

В котором знак неравенства –строгий, ибо не выполняется условие. Задача 58]. Докажите, что среди всех треугольников данной площади наименьший периметр имеет правильный треугольник. Решение. Пусть –стороны треугольника, p–его полупериметр. По формуле Герона площадь Sтреугольника выразится так: . Оценим Sсверху, применив неравенство Коши для чисел:

Таким образом, откуда. В последнем неравенстве равенство возможно лишь при условии, т. е. при. Это говорит о том, что наименьший периметр будет у правильного треугольника. Задача 6. Решите уравнение.Решение. Область определения неизвестного данного уравнения есть промежуток. На этом промежутке правую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 1: .

Заметим, равенство в произведенной оценке достигается только, если, или. Легко видеть, что, причем равенство в этом соотношении достигается только при. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.Замечание. В приведенном решении оценку можно получить посредством применения обобщенного неравенства Коши:

Задача 7.Решите систему уравнений Решение. По простому неравенству Коши из первого уравнения системы имеем оценку, следовательно, первое уравнение эквивалентно условию, или. Отсюда, в силу второго уравнения системы, получаем уравнение относительно: . Оно имеет два решения, значит, соответствующие значения для будут, . Проверкой убеждаемся, что данная система имеет единственное решение.Задача 8. Решите уравнение.Решение. Рассматриваемое уравнение задано на множестве. Перепишем его в виде.

Левую часть последнего уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 2 для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического степеней и с весами и: =1.

Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению

Так как, то все сводится к решению уравнения.

Из последнего находим, что. Найденные значения лежат в области допустимых значений уравнения, значит, это искомые корни. Рассмотрим уравнение, навеянное задачей 8.Задача 9 .Решите уравнение.Решение. Данное уравнение схоже с предыдущим. Очевидно, оно также определено на множестве. Запишем его в равносильной форме

Левую часть последнего уравнения оценим снизу, применяя неравенство 2. Для этого положим, . Имеем:

В произведенной оценке равенство достигается лишь при условии

которое в силу равенства эквивалентно условию. Отсюда находим искомые корни.Ссылки на источники1.Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: учебноепособие по спецкурсу. –Киров: Издво ВГГУ, 2002. –368 с.2.Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. –М.: Мир, 1965. –276 с.3.Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. –Киров: Издво АСА», 1994. –272с.4.Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. –1990. –№ 4. –С.57–62.5.Галицкий М.Задачи по алгебре для 8–9 классов // Математика: Еженедельное приложение к газете Первое сентября». –1998. –№ 6. –С. 7–10. 6.Вересова Е. Е. и др.Практикум по решению математических задач. –М.: Просвещение,1979. 7.Квант. –1985. –№ 11. –С. 25.8.Курляндчик Л. Д.Приближение к экстремуму //Квант. –1981. –№ 1.–С. 21–25.

9.Калинин С.И.Два родственных» уравнения // Математика в школе. –2002. –№ 6. –С. 70–71.

Kalinin Sergey, Doctor of Education, Chief of mathematical analysis and methods of teaching mathematics chair in Vyatka State University of Humanities, [email protected]

Inequality Cauchy: a new inductive proof and some applications to solving problemsAbstract. The article is devoted to a new proof of the generalized Cauchy inequality for arithmetical and geometrical mean of positive numbers, using the method of forward and backward induction. We give examples of simple and generalized Cauchy inequalities to solve problems of high levels of school mathematics.Keywords: arithmetic and geometric averages, the Cauchy inequality, the problem of high levels of schoolmathematics.

Неравенство Коши-Буняковского

В предыдущем пункте у нас остался пробел. Мы определили угол между векторами и формулой

Для того чтобы можно было определить из этого равенства, нужно доказать, что

или, что то же самое, что

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Итак, для того чтобы иметь право определить угол между двумя векторами формулой (5), мы должны доказать неравенство Коши-Буняковского 2.5.

Чтобы доказать его, рассмотрим вектор, где -- произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4 скалярного произведения

т.е. для любого

Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно трехчлен принимает лишь неотрицательные значения. Следовательно, дискриминант уравнения

не может быть положительным, т.е.

что и требовалось доказать.

Приведем пример неравенства, являющегося следствием неравенства Коши-Буняковского.

Для любых векторов и в евклидовом пространстве имеет место неравенство

Доказательство.

так как (в силу неравенства Коши-Буняковского) , то

т.е. , что и требовалось доказать. (См. также 3, стр.)

Использование векторного неравенства Коши-Буняковского при решении задач по алгебре

В рассматриваемых ниже примерах используется векторное неравенство Коши - Буняковского и его следствие

| · | || · || , (I)

· || · || , (II)

Заметим, что знак «=» достигается а) в неравенстве (I), если векторы и коллинеарны; б) в неравенстве (II), если векторы и сонаправлены.

Пусть векторы и и v имеют координаты: (х1, у1, z1), (x2, y2, z2). Тогда неравенства (I) и (II) примут вид:

Из неравенств(I) и (II) в том случае, когда имеет место знак «=», следует, что = , где 0, что эквивалентно системе

Перейдем теперь к решению примеров

Пример 1. Решить систему уравнений.

Решение. На первый взгляд может показаться, что данная система имеет бесконечное множество решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано далее, система (1)-(2) имеет единственное решение.

Рассмотрим векторы: и. Тогда

Так как и, то

Учитывая (3) и (4), имеем: и*е= и * е

Следовательно, на основании (3) x=y=z , а с учетом (1) получаем, что х=у=z=

Ответ: (1/3, 1/3, 1/3).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений.

Положим (x2, y2, z2) и (1; 2; 2). Тогда очевидно, что || = 1, || = и || · || = . Из (6) следует, что · =. Получается · > || · ||, что невозможно. Следовательно, система (5) - (6) решений не имеет.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Нетрудно убедиться, что данная система не имеет решений, в которых хотя бы одно переменное было, равно нулю. Поэтому, разделив обе части уравнения (1) на х2у2z2 , мы получаем систему, равносильную данной.

Рассмотрим векторы (,), (x, 2y, z).

Тогда · = 12. Из (1,a) и (2) следует, что || = 4 и || = 3. Таким образом,

· = || · ||. (4)

Из (4) на основании (III) следует, что

откуда y2 = и z2 =. Тогда из уравнения (2) имеем:

откуда х = ± . При этом y = ± и z = ± .

Из полученных значений х, у и z составим восемь троек чисел:

Каждая из приведенных троек является решением уравнений (1) и (2) данной системы. Далее нужно установить, какая из них является решением уравнения (3).

Проверкой убеждаемся, что только две тройки и удовлетворяют уравнению (3) и потому являются решениями данной системы.

Покажем теперь применение неравенств (I) и (II) при доказательстве неравенств.

Пример 4. Доказать, что для произвольных чисел а, b и с справедливо неравенство:

a2b2 + b2c2 + a2c2 abc(a + b + c). (1)

Решение. Введем векторы: (ab, bc, ca) и (ас, аb, bс). Для них имеем:

· = а2bс + аb2c + abс2 = abc(a + b + c), (2)

· = а2b2 + b2c + a2с2. (3)

Из (2) и (3) на основании (II) следует (1).

Пример 5. Доказать, что если а, b, с и d - неотрицательные числа, то имеет место неравенство

Решение. Введем векторы (,) и (,). Тогда

Пример 6. Доказать, что если

Решение. Введем векторы: (х, у) и (1, 1). Тогда

]). Авторы объясняют появление этого названия тем, что одним из краеугольных камней излагаемой теории является неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим и его обобщения. Добавим также, что первоначальной базой для ГП послужили некоторые геометрические задачи и методы их решения. Именно геометрия с древнейших времен занималась, в частности, решением задач на отыскание фигур, обладающих определенными экстремальными свойствами. Для решения таких задач часто использовалось геометрическое неравенство Коши и его обобщения. Одной из самых известных задач этого класса является, так называемая, задача Дидоны .

Задача Дидоны

Задача Дидоны , или классическая изопериметрическая задача, формулируется следующим образом: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь .

Эту задачу связывают с именем Дидоны - основательницы города Карфаген и его первой царицы. Согласно легенде, финикийская царевна Дидона (Элисса), спасаясь от преследований своего брата, царя Тира, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона вступила в переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, сколько можно окружить бычьей шкурой . Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда хитроумная Дидона изрезала шкуру быка, которую ей предоставили местные жители, на узкие полоски, связала их и окружила территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.

Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то задачу, стоящую перед Дидоной, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины , чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией , была наибольшей. В предположении, что - прямая линия, решением задачи является полуокружность длины .

Неравенство Коши

Решение частного случая задачи Дидоны, когда требуется определить, какой из прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь , было известно еще математикам Древней Греции. Более того, эта геометрическая задача считается самой древней задачей на экстремум . Решение этой задачи приведено в VI книге "Начал" Евклида, где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше площади прямоугольника.

Решение задачи Дидоны для прямоугольников и некоторых других частных случаев этой задачи легко получить с помощью неравенства Коши , которое устанавливает, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:

Равенство достигается только при .

Доказательство неравенства Коши в общем виде занимает много места, поэтому здесь мы приведем доказательство этого неравенства только при :

Покажем теперь на примерах, как неравенство Коши может быть использовано для решения оптимизационных геометрических задач.

Пример 1 (задача Дидоны для прямоугольников) . Найдем длины сторон прямоугольника с периметром , имеющего наибольшую площадь .

Обозначим длины сторон прямоугольника через и , а его площадь - через . Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при :

Неравенство (2) обращается в равенство при . Таким образом, прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр , является квадрат, длина стороны которого равна .

Пример 2 (обратная задача Дидоны для прямоугольников) . Найдем длины сторон прямоугольника с площадью , имеющего наименьший периметр .

Используем обозначения, введенные в примере 1. Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Из неравенства (1) вытекает, что

Следовательно, . Это неравенство обращается в равенство при . Таким образом, прямоугольником наименьшего периметра, имеющим заданную площадь , является квадрат, длина стороны которого равна .

Пример 3 (задача Дидоны для параллелепипедов) . Площадь поверхности параллелепипеда равна . Определим, при каких длинах сторон его объем будет максимальным .

Обозначим длины сторон параллелепипеда через , и , а его объем - через . Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при для чисел , и :

Неравенство (4) обращается в равенство при , откуда следует: . Из (3) имеем: . При этом максимальный объем

Таким образом, параллелепипед максимального объема с площадью поверхности имеет форму куба со стороной . Аналогично можно показать, что параллелепипед объема c минимальной площадью поверхности имеет форму куба.

Пример 4 (задача Дидоны для треугольников) . Найдем длины сторон треугольника с периметром , имеющего наибольшую площадь .

Обозначим длины сторон треугольника через , и . Площадь треугольника вычислим по формуле Герона. Математическая модель задачи примет вид

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при для чисел , , :

Отсюда следует

Из (5) получим

Неравенство (13) обращается в равенство при , т. е. при условии . Из (6) получим

Таким образом, треугольником с периметром , имеющим наибольшую площадь , является равносторонний треугольник со стороной .

При решении более сложных задач применяется также геометрическое неравенство или обобщенное неравенство Коши , которое непосредственно связано с двойственностью в ГП (см. лекцию 4):

(8)

Используя неравенство (8), можно доказать две теоремы, которые широко применяются для оценивания нелинейных функций.

Теорема 1 Решением экстремальной задачи

при ограничениях

является вектор с компонентами

II – я Всероссийская дистанционная ученическая Конференция

Различные средние положительных. Неравенство Коши.

Математика , исследование.

Горбунов Денис , 11 класс, МОУ лицей №1 г. Кунгура Пермского края

Научный руководитель: Тихомирова Галина Николаевна , учитель математики лицея №1

Web-адрес:/works.html

Аннотация.

В школьном курсе математики и физики изучаются средние величины (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное).

Между ними существуют удивительные соотношения, которые исследованы учёными. О.Коши, французский математик, сопоставив две средние величины, пришёл к выводу о том, что среднее арифметическое n чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.

Неравенство Коши используется при решении уравнений, неравенств и систем методом оценок, появляется в вариантах теста ЕГЭ (например, задача С 3 в 2006 году).

Развитие теории неравенств с переменными за последние сто лет привело к появлению в ней необычайного разнообразия методов и направлений, что и стало предметом моего исследования.

Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Теоретическая часть представлена тремя разделами: средние величины и их сравнение для двух положительных чисел; замечательные неравенства и методы решения задач.

Думаю, что проделанная мною работа поможет мне успешно подготовиться к ЕГЭ и будет интересна для ознакомления выпускникам школ и увлечённым математикой людям.

Тема: Различные средние положительных. Неравенство Коши.

Цель: изучение средних величин, определение оптимальных методов решения задач со средними величинами.

Задачи:

познакомиться с историей появления средних величин,

дать определение средним величинам,

доказать алгебраически и геометрически соотношение между средними величинами,

рассмотреть применение неравенства Коши при исследовании свойств функций,

систематизировать различные методы решения нестандартных задач.

Почему я выбрал эту тему?

Когда передо мной встал вопрос выбора темы, я из всех рассматриваемых вариантов незамедлительно выбрал эту. Свой выбор я основывал на том, что эта тема поможет мне подготовиться к экзаменам и узнать много нового для себя.

План:

Вступление

А)Теоретическая часть

1. 2.1.Понятие средней величины.

   2.2.Из истории средних величин

   2.3.Соотношение между средними величинами

2.3.1.Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического

2.3.2.Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного

2.3.3.Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического

2.3.4.Геометрическое доказательство сравнения средних величин

2.3.4.1. Среднее арифметическое и среднее квадратичное

2.3.4.2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое

2.3.4.3. Среднее гармоническое и среднее геометрическое

2.3.4.4. Построение четырёх средних по заданным отрезкам a и b

2.3.5.Решение геометрических задач на сравнение средних величин

2.4. Средние для n положительных чисел

2.5. Замечательные пределы, порождаемые классическими средними.

2.6. Замечательное неравенство Коши

Б)Практическая часть

2.7.Основные методы решения задач на доказательство неравенств

2.7.1. Метод анализа

2.7.2. Метод синтеза

2.7.3. Метод от противного

2.7.4. Метод использования тождеств

2.7.5. Метод оценивания

2.7.6. Метод введения новых переменных, или метод

подстановки

2.7.7. Метод введения вспомогательных функций

2.7.8. Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижения степени неравенства

2.8. Применение неравенства Коши при решении задач.

2.9. Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию

III. Заключение

IV. Список литературы

Вступление.

В школьном курсе математики каждый пятиклассник встречается со средним арифметическим двух или нескольких натуральных чисел (;
;…). При изучении геометрии в восьмом классе, рассматривая прямоугольный треугольник, каждый школьник знакомится со средним геометрическим двух отрезков (
). В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. С уроков физики известно, что если и - скорости на двух участках пути, то средняя скорость равна
, то есть является средним гармоническим и . Существует ещё и четвёртое среднее – среднее квадратичное
.

Можно выделить большой класс задач, для решения которых достаточно знать и уметь применять сравнительно несложные неравенства. К числу таких неравенств относится, прежде всего, неравенство Коши: среднее арифметическое двух положительных чисел a и b не меньше их среднего геометрического:
. Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

В неравенствах равенство достигается, если a = b . Эти неравенства эквивалентны друг другу при
,
.

Данные неравенства используются при решении уравнений, неравенств и систем методом оценок, появляются в вариантах теста ЕГЭ (например, задача С 3 в 2006 году).

Следует отметить, что развитие теории неравенств с переменными за последние сто лет привело к появлению в ней необычайного разнообразия методов и направлений.

Я изучил большое количество литературы по данной теме, систематизировал её. Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Теоретическая часть представлена тремя разделами: средние величины и их сравнение для двух положительных чисел; замечательные неравенства и методы решения задач.

Вторая часть – практическая, которая ставила своей целью научиться применять замечательные неравенства при решении различных заданий.

Думаю, что проделанная мною работа поможет мне успешно подготовиться к ЕГЭ.

Понятие средней величины.

Средней величиной действительных чисел
называют всякое действительное число х, удовлетворяющее условию
, где m – наименьшее, а М – наибольшее среди чисел .

Средняя величина чисел только одна в том и только в том случае, когда
.

Средним геометрическим действительных неотрицательных чисел
называют такое действительное неотрицательное число .

Средним арифметическим действительных чисел называют действительное число
.

Средним гармоническим действительных положительных чисел называют положительное число
.

Средним квадратическим (квадратичным) действительных чисел называют неотрицательное действительное число
.

Если рассмотреть два положительных числа a и b, то эти средние величины будут выглядеть следующим образом:

Можно рассмотреть следующие задачи.

Задачи № 1. Определить среднюю скорость туриста на всем пути, если от пункта А до пункта В он шёл со скоростью , а обратно – со скоростью .

Решение. Обозначим символом S расстояние между пунктами А и В, тогда

- время туриста от А до В, а

- время туриста обратно.

+ - время, затраченное на весь путь.

Тогда

Получили, что есть среднее гармоническое скоростей и .

Задача № 2. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С на гипотенузу опущен перпендикуляр CD, который делит гипотенузу на отрезки AD = a; BD = b. Выразить через a и b:

DE (где Е – есть точка пересечения окружности, описанной около треугольника АВС, и перпендикуляра, проведённого к АВ через центр окружности)

СК (где точка К- есть основание перпендикуляра, опущенного из точки D на r = СО.

Решение.

1) ∆АВС – прямоугольный, поэтому АВ – диаметр окружности

АВ = a + b, О – центр окружности, то есть АО = ОВ = ОЕ =

Получили, что ЕО = является средним арифметическим двух отрезков, длины которых a и b.

2)CD┴АВ (по условию), следовательно, по свойству перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, CD²=ADDB. Значит

, то есть
.

CD является средним геометрическим двух отрезков, длины которых равны a и b.

3) ∆OED – прямоугольный, так как EO ┴ АВ (по условию)

(как радиус окружности)

По теореме Пифагора

DE² = OD² + OE²

, то есть DE является средним квадратичным для двух отрезков, длины которых a и b.

∆DOC – прямоугольный, так как CD ┴ АВ. Проведём

┴ СО.

По свойству прямоугольного треугольника CD² = CO CK, то есть

, то есть СК – среднее гармоническое для a и b.

Из решения этой задачи видно, что для двух отрезков a и b можно найти четыре зависимости: среднее квадратичное, среднее гармоническое, среднее арифметическое, среднее геометрическое.

В какой же зависимости они находятся друг от друга?

Из истории средних величин.

Когда возникли понятия средних величин в математике, точно не известно. Но предполагают, что уже вавилоняне более трех тысяч лет назад использовали их при вычислении квадратных корней. В дошедших до нас табличках квадратные корни из натуральных чисел фактически вычислены по известной нам формуле:

если N = β² + r, то
=

.

Восстанавливая ход рассуждений вавилонян, современные учёные пришли к выводу, что они брали среднее арифметическое чисел β и . В самом деле, если обозначить
, то β=
.

Много позже древнегреческий математик Герон (I в.) в своей «Метрике», применяя тот же метод приближённого вычисления квадратного корня, писал, что если результат получается со слишком большой погрешностью, то указанную процедуру можно повторить, т.е. взять среднее арифметическое чисел βи .

Применим этот алгоритм к вычислению квадратного корня из натурального числа, записав его в виде произведения двух натуральных чисел: N = ab (при простом N один из сомножителей равен 1). В качестве первого приближения значения
возьмём
, затем следуя рекомендации Герона, найдем
, которое оказывается средним гармоническим
чисел a и b .

Также средние величины были известны и античным математикам. В одном из математических тестов, которые приписывают древнегреческому математику Архиту (ок. 428 – 365 г.г. до н.э.), среднее арифметическое А , среднее геометрическое G и среднее гармоническое Н определялись как равные члены соответственно арифметической, геометрической и гармонической пропорций:

a – А = А – b;

a: G = G: b;

(a – H) : a = (H – b) : b.

Из этих равенств получаем

;
;
.

Свои названия перечисленные средние величины получили в античные времена. Аристотель (384 – 322 г.г. до н.э.), великий философ древности, объяснял происхождение названий так. Среди чисел
каждое последующее больше предыдущего на постоянное число
(при условии a каждая следующая больше предыдущего в фиксированное число
раз; такое сравнение производится только в геометрии. Естественно, Аристотель высказывал отношение к операциям, бытовавшим в древнегреческой математике.

Иногда вместо термина «среднее геометрическое» используют название среднее пропорциональное. Объясняется это совсем просто: ведь равенство равносильно пропорции a : G = G : b .

По преданию гармоническое среднее ввёл Пифагор (VI в. до н.э.), выразив с его помощью отношение основных гармонических интервалов. Пифагор установил, что вместе со струной длиной 12l , созвучно сливаясь с ней звучат струны того же натяжения с длинами 6l (выше на октаву), 8l и 9l (выше на кванту и на кварту), при этом 9l есть среднее арифметическое чисел 6l и 12l , а 8l он определил как среднее гармоническое этих чисел. Это созвучие (и определяющее его отношение 6, 8, 9, 12) называлось тетрадой. Пифагорейцы считали, что тетрада есть «та гамма, по которой поют сирены».

Открытие тетрады привело пифагорейцев к поискам подобных соотношений в других областях человеческих знаний, в том числе архитектуре («золотое сечение»), геометрии, космологии и т.д.

В древнегреческой математике, которая была по преимуществу геометрической, было известно несколько способов построения средних по двум данным отрезкам а и в . У Паппы Александрийского (III в.) в его «Математическом собрании», своде результатов древнегреческой математики, приведено построение среднего геометрического двух отрезков по способам его предшественников Эратосфена (276 – 174 г.г. до н.э.), Никомеда (II в. до н.э.) и Герона (I в.), дано также описание построения на одной фигуре всех трёх отрезков.

Формулы, задающие различные средние, вообще говоря, имеют смысл не только при положительных a и b . Однако, чтобы каждый раз не задумываться над вопросом существования средней величины, обычно считают a и b положительными.

Соотношение между средними величинами.

Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического.

Хорошо известно, что с двумя положительными числами а и в , связаны их среднее арифметическое и среднее геометрическое, причем (равенство выполняется только при а = в ). Алгебраическое доказательство этого неравенства чрезвычайно простое:

(а – в)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности»:

а² - 2ав + в² ≥0;

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :

а² + 2ав + в² ≥4ав;

Применим формулу «квадрат суммы»:

(а + в)² ≥4ав;

Разделим обе части неравенства на 4 :

Т
ак как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

Получили искомое выражение.

Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного.

По определению неравенства если (а – в) ≥0, то а ≥ в, а если (а – в)≤0, то а ≤ в. Но для положительных а и в имеет место выражение: если (а² - в²)≥0, то а ≥ в и наоборот.

Для доказательства
рассмотрим разность

Значит по определению неравенства (при а≥0; b ≥0 ) разность квадратов отрицательна, то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Таким образом , причём равенство достигается только при a = b .

Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического.

Докажем, что среднее гармоническое не больше среднего геометрического, то есть
. Рассмотрим разность

При условии, что a и b положительны разность квадратов
, то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Значит , причём равенство достигается лишь при a = b .

Таким образом мы доказали одно из важнейших неравенств, связанных со средними:

.

Геометрические доказательства.

Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического для двух положительных чисел a и b.

Дано: окр.(О;ОА); AD = a ; BD = b

Доказать:

Доказательство:

дуга АКВ = 180° значит, угол АСВ = 90 ° (по свойству вписанного угла)

Таким образом, ∆АСВ – прямоугольный,

∆АВС подобен ∆ ADC

(по общему острому углу)

2) ∆АВС подобен ∆ CBD

3) CD ┴АВ , то есть ∆ ADC подобен ∆ CBD .

4)
, следовательно,

, следовательно,

, следовательно,
, значит, , то есть
.

5) ∆ CDO – прямоугольный, CD ┴ OD , значит, CD < OC , то есть
.

6) Если a = b , то точка D совпадает с точкой О , то
.

Поэтому , что и требовалось доказать.

Это неравенство можно доказать и другим способом.

II способ.

Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.

Доказать:

Доказательство:

4)

Очевидно, что
,
равенство достигается при

a = b , то есть ABCD – квадрат.

;
,

заменим в неравенстве а² на m , b ² на n , получим

или
,

то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

Сравнение среднего квадратичного и среднего арифметического.

Средние для n положительных чисел.

Средние величины можно находить для любого количества положительных чисел
. Определения этих средних даны выше. Для любых положительных чисел среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное удовлетворят неравенствам:

в каждом из которых знак равенства достигается лишь в случае, когда
.

Самым важным и значимым из этих неравенств является неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, которое носит название неравенства Коши.

Замечательные пределы, порождаемые классическими средними.

Пусть даны два положительных числа a и b , a < b . Вычислив какую – либо пару средних этих чисел, получим числа и . Затем для чисел и вычислим те же средние – получим числа и . С ними повторим ту же процедуру и так далее. В результате получим последовательности
и
.

Например, взяв среднее геометрическое и среднее арифметическое и отправляясь от чисел 1 и 3, получаем

В этом примере последовательности и очень быстро сближаются. Всегда ли так будет? Оказывается, подобные последовательности всегда имеют общий предел.

Арифметико – гармоническое среднее.

Пусть выбранная пара средних – это среднее гармоническое и среднее арифметическое; таким образом, члены последовательностей и определяются формулами

,
,

,
.

Рассмотрим среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее арифметическое

.

Отсюда следует, что

То есть последовательность возрастает «навстречу» убывающей последовательности .

Таким образом, обе последовательности монотонны и ограничены, следовательно, они имеют пределы. Пусть
,
. Вычислим предел

То есть последовательности и имеют общий предел. Этот предел называется арифметико – гармоническим средним чисел a и b .

Найдём его:

Так как и , где n =0, 1, 2, 3,… ; ;
, то

Поэтому

Поэтому
.

Арифметико – гармоническое среднее совпадает со средним геометрическим.

Таким образом последовательности и достаточно быстро сходятся к . Поэтому они могут оказаться полезными для приближённого вычисления квадратных корней. Для вычисления
нужно начинать последовательности , с таких чисел a и b , что c = ab (например, a =1, b = c ), причём процесс будет сходиться тем быстрее, чем меньше разность между этими множителями (например, для вычисления
лучше брать не a =1, b =56 , а a =7, b =8 ). Последовательности и получаются по формулам

;
.

Для иллюстрации вычислим
, положив b =4 . Получаем

.

Арифметико – геометрическое среднее.

Четырнадцатилетний карл Фридрих Гаусс обнаружил на числовых примерах, что при вычислении последовательностей и с помощью арифметических и геометрических средних:

, ,

эти последовательности очень быстро сближаются.

Их общий предел называется арифметико – геометрическим средним чисел a и b и обозначается через
. Найти явное выражение через a и b очень не просто. Впервые оно было получено Гауссом в результате необычайно остроумных и виртуозных рассуждений и преобразований, использующих свойства так называемых эллиптических интегралов.

Геометрическо – гармоническое среднее.

Если строить последовательности и с помощью средних гармонических и средних геометрических:

; ,

то в этом случае они сходятся к общему пределу. Назовём его геометрическо – гармоническим средним a и b и обозначим его через
. Однако ничего существенно нового по сравнению с предыдущими последовательностями здесь нет, так как

;
.

.

Замечательное неравенство Коши.

Это знаменитое неравенство принадлежит французскому математику О.Коши, которое было опубликовано в 1821 году. В то время его доказательство занимало несколько страниц сложных выкладок и было основано на методе математической индукции. С тех пор появилось несколько десятков различных доказательств этого неравенства.

Теорема. Для неотрицательных чисел справедливо неравенство Коши

Равенство достигается тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть числа - положительны и
. Это число называется средним геометрическим положительных чисел , при
(если n=1, то
).

Возведём обе части равенства в n – ную степень. Получим

Умножим числитель и знаменатель этого равенства на

, n = 2, 3, 4, 5,…

Применим неравенство Бернулли (
), заменив в нём q на
. Получим

Таким образом

Если n = 2, то
;

Если n = 3, то
;

Если n = 4, то
;

……………………………..

Сложим эти неравенства почленно, получим:

Перенесём влево, разделим неравенство на n .

, где

Таким образом
.

Равенство достигается, когда все а равны.

Это неравенство справедливо и для неотрицательных чисел.

Существуют и другие варианты записи неравенства Коши:

Возведём обе части неравенства Коши в n - ную степень

Получим:

Рассмотрим задачи на применение неравенства Коши.

Задача № 1. Произведение положительных чисел
. Доказать, что

Решение. Применим неравенство Коши:

;

Задача №2. Решить уравнение:

Решение. При х = 2 правая часть уравнения равна 2, а при
будет меньше 2, поскольку каждое слагаемое меньше 1. Итак, правая часть не превосходит 2. Левую часть представим в виде

(х>1)

Слагаемых
и
.

(х > 1)

Таким образом правая часть уравнения не превосходит 2, а левая часть не меньше 2. Равенство достигается если обе части равны двум, то есть

Значит при х = 2.

Ответ: х = 2

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

С помощью неравенства Коши можно находить наибольшее и наименьшее значения функции без использования производной. Для этого потребуются утверждения, вытекающие непосредственно из неравенства Коши:

Задача № 1. Найти наименьшее значение функции
,
.

Решение. Представим функцию
в виде суммы слагаемых

.

Найдем произведение этих слагаемых

.

Это означает, что своё наименьшее значение сумма слагаемых принимает при
, то есть при
.

.

Ответ: у = 4 – наименьшее значение функции, которое достигается при х = 1 .

Задача № 2. Найти наибольшее значение функции
на отрезке
.

Решение. Возведём функцию в квадрат, получим:

, разделим обе части на 4:

.

Представим произведение в виде произведения

.

Найдём сумму этих множителей

,

то есть сумма принимает постоянные значения. Следовательно, функция
, а значит и функция достигает наибольшего значения при
.

Найдём значения функции в этих точках

Следовательно, наибольшее значение функции равно
при
.

Задача № 3. При каких значениях х функция достигает наибольшего значения?

Решение. Запишем функцию
в виде

Найдем сумму этих 5 сомножителей

Применим неравенство Коши для n = 5

Следовательно, функция достигает наибольшего значения равного
, если

Ответ: при
функция достигает наибольшее значение.

Задача № 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
.

Решение. Найдём область определения функции
.

1)
- наименьшее значение, так как
.

2) Применим неравенство Коши для n = 2 для слагаемых
и
.

, то есть функция имеет наибольшее значение , оно достигается, если

Действительно,
.

Ответ:

.

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

Метод анализа .

Это метод, основанный на анализе исследуемого неравенства, причём таком анализе, с помощью которого «обратимыми» рассуждениями строят цепочку переходов от доказываемого неравенства (через ряд промежуточных) к некоторому очевидному (благодаря ранее полученным результатам) неравенству.

Рассмотрим решение задачи методом анализа.

a , b , c , d таких, что
и
, выполнимо неравенство
.

Решение. Рассмотрим цепочку переходов от одного неравенства к другому, ему равносильному, учитывая, что и по условию.

Возведём обе части в квадрат, так как они неотрицательны:

Подставим значения c ² и d ² из условия .

Получили очевидное неравенство.

Метод синтеза.

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза.

Задача № 2. Докажите, что для любых неотрицательных a , b , c справедливо неравенство

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

;
;

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Метод от противного.

Суть метода состоит в том, что предполагается выполнение всех условий задачи, а вот само неравенство не выполнено. После чего проводится цепочка равносильных преобразований и выявляется гипотеза, устанавливающая противоречия о выполнении данного неравенства.

Рассмотрим задачу № 1, решённую методом анализа. Решим её методом от противного.

Задача № 1. Доказать, что для любых действительных чисел a , b , c , d

Решение. Пусть условия задачи выполнены, то есть и и .

Допустим, что данное неравенство неверно, а при данных условиях выполняется следующее неравенство:

.

Это неравенство равносильно совокупности неравенств:

Умножим обе части неравенства на 2 и правую часть представим в виде суммы 1+1:

Подставим из условия значения 1:

Перенесём всё в левую часть и применим формулу квадрат суммы:

Получили совокупность неравенств, которая решений не имеет, значит предположение о выполнении неравенства неверно, то есть .

Метод использования тождеств .

Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.

Рассмотрим решение задачи этим методом.

a и b справедливо неравенство
.

Решение. Выделим в левой части неравенства полный квадрат

При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .

Метод оценивания (метод усиления или ослабления).

Метод усиления заключается в последовательном переходе от меньшей функции к большей (как говорят, оценивающей «сверху» эту меньшую функцию). Такие «переходы» приводят к получению так называемого более сильного неравенства, то есть неравенства с большей правой частью, нежели у его предшественников – неравенств. Иначе говоря, если требуется доказать неравенство вида A < B и удалось установить, что A < C и С < B, где А, В, С - функции от соответствующих переменных, принимающих произвольные значения из оговорённой области определения, то тем самым оказывается установленным и неравенство А < В.

Метод ослабления – метод перехода к доказательству более слабого неравенства заключается в следующем: если требуется доказать неравенство вида A > B и удалось установить, что A > C и C > B, где А, В, С – функции от соответствующих переменных, принимающих произвольные значения из оговорённой области определения, то тем самым оказывается установленным и неравенство A > B.

Аналогичный подход можно применять для доказательства нестрогих неравенств.

Вернёмся к задаче № 1 и решим её третьим способом – методом усиления.

Задача № 1. Доказать, что для любых действительных чисел a , b , c , d таких, что и , выполнимо неравенство .

Решение. Применим свойство модуля
к левой части неравенства
.

Представим слагаемые в правой части в виде корня:

К этим выражениям применим зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим

Таким образом, .

Метод введения новых переменных, или метод подстановки.

Суть метода состоит в том, что в данном неравенстве какое – либо выражение обозначается новой переменной, а затем полученное неравенство относительно новой переменной доказывают, используя уже известные методы.

Рассмотрим задачу на применение данного метода.

Задача № 4. Доказать, что для любых положительных a , b , c справедливо неравенство

.

Решение. Пусть
;
;
.

Найдём сумму новых переменных x + y + z и применим зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим

;
;

Подставим значения x , y и z :

Так как a >0, b >0, c >0 по условию, то

Метод введения вспомогательных функций с целью использования их свойств.

Суть метода заключается в том, что в неравенстве одно значение переменной фиксируется как параметр, а другое значение обозначается через переменную х . В результате чего получаем вспомогательную функцию относительно х . Для доказательства условия задачи следует выяснить множество значений полученной вспомогательной функции.

Решим задачу на применение этого метода.

Задача № 3. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .

Решение. Решим эту задачу вторым способом, методом введения вспомогательной функции. Пусть b – фиксированное действительное число, параметр, а = х , тогда получим функцию
, которая является квадратичной, ветви параболы направлены вверх.

Поэтому квадратичная функция принимает только неотрицательные значения, , значит
, то есть .

Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижение степени неравенства.

Суть метода заключается в том, что уменьшается число переменных в неравенстве с помощью метода подстановки и выполнения арифметических действий и применения очевидных тождеств.

Рассмотрим доказательство неравенства этим методом.

Задача № 1. Докажите, что для любых положительных a , b , c справедливо неравенство: .

Решение. Разделим правую и левую части неравенства на с 3 (c > 0 , а значит и с 3 > 0 ) и введём новые переменные:

В результате получим новое неравенство

;
,

доказательство которого равносильно доказательству исходного неравенства. Перепишем его левую часть в следующем виде:

и введём новые переменные:

;
, причём x > 0 , y > 0 и x ² ≥ 4 y . Теперь получили неравенство вида

Где
,

чьё обоснование позволяет сделать вывод и о справедливости исходного неравенства. Существенными достижениями в результате сделанных преобразований явились следующие: уменьшилось число переменных, а степень относительно переменного у оказалась равна единице. Преобразовав полученное неравенство к виду

и введя в рассмотрение следующую вспомогательную функцию (считая х произвольным положительным фиксированным числом) с областью определения R можем заключить, что при любом фиксированном значении х графиком этой функции будет прямая. Следовательно, её наименьшее на отрезке
достигается на одном из его концов. Найдем значение функции в этих точках:

и
. Таким образом значения функции на концах отрезка положительны при x > 0 , а это доказывает истинность исходного неравенства.

Применение неравенства Коши при доказательстве неравенств

Задача № 1. Доказать неравенство

.

Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию.

Ещё в глубокой древности люди задумывались, как, имея в своём распоряжении тот или иной ресурс (например, деньги), так им распорядиться (вложить деньги в «дело», дать в долг под проценты, раздать нищим, закопать в собственном огороде и т. д.), чтобы получить наибольшую пользу и наименьший ущерб для себя.

То, что подобные задачи на оптимизацию встречались ещё в античные времена, донесли до нас мифы Древней Греции и Рима. Причём интуиция и опыт человеческий уже тогда позволяли «нащупать» решения подобных задач, дающие оптимальный или близкий к оптимальному результат.

Вот один из мифов, наполовину древнегреческий, наполовину древнеримский. Дочь царя Тира, Дидона, жена жреца храма Геракла Акербаса вынуждена была бежать из Финикии в Северную Африку. Причина бегства – её брат, Пигмалион, позарившийся на богатства её мужа и убивший его. Многочисленные сокровища мужа и многочисленные спутники Дидоны нуждались в пристанище. Чтобы обрести его, беглянка купила у берберийского царя Ярба землю, причём по условию она в обмен на немалые сокровища могла взять ровно столько земли, сколько покроет одна бычья шкура. Чтобы выполнить это условие и получить достаточно обширную территорию, Дидона разрезала шкуру на тонкие ремни, сделала из них длинную верёвку и «окружила» ею изрядный кусок земли, естественно, круглой формы, на котором основала Карфаген. Любопытно, что карфагенская цитадаль называется Бирса (Бирсу), что в переводе с греческого означает «шкура». Однако дальнейшая судьба Дидоны была трагическая: она покончила жизнь самоубийством.

Но вернёмся к математике. Задача, которую решила Дидона, может быть сформулирована так: найти замкнутую кривую, ограничивающую часть плоскости с максимальной площадью. В таком общем виде эта задача слишком сложна. Однако, если упростить задачу Дидоны и договориться о более конкретных формах участка земли, то возникают задачи, чьи решения могут быть получены без обращения к высшей математике, при помощи замечательных неравенств. Задачи типа задачи Дидоны называют в математике изопериметрическими задачами (от греческих слов isos – равный и perimetrio – измеряю вокруг).

Задача № 1. Найдите из множества всех прямоугольников с заданным периметром тот, чья площадь наибольшая.

Решение. Обозначим стороны искомого прямоугольника символами x и y , а его периметр – символом р > 0, тогда задача стоит так: при каких x и y – положительных числах, удовлетворяющих условию
, их произведение будет наибольшим. Применим неравенство Коши: ,

где фиксированное число
. Требуется определить наибольшее значение выражения

Применим неравенство Коши для n = 3

то есть
, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда , то есть для равностороннего треугольника.

Рассмотрим задачу С 3 , которая предлагалась в тесте ЕГЭ в 2006 году.

Задача № 3. Требуется разместить на земле участок площадью 3400 м 2 , который состоит из трёх прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCDFGHM , изображённого на рисунке, где ВС = 20 м, CD = 15 м, GH = 30 м и HM ≥ 40 м . Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие – либо значения длин АК,

Равенство достигается при
, то есть
.

Таким образом,

, то есть

И это значение достигается при

Ответ. Р = 280 м; АК = 70; AL = 70; HM = 40.

Заключение.

Неравенства для средних и сами средние широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в статистике, в теории вероятностей (оттуда пришло среднее квадратичное), при обработке результатов измерений. Средняя урожайность, средняя плотность населения, средняя температура, средняя рождаемость, средняя глубина реки, – это примеры средних величин, постоянно окружающих нас.

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. По словам Э. Беккенбаха, «…основные результаты математики чаще выражаются неравенствами, а не равенствами». Однако до сих пор нет хорошо разработанной, достаточно общей «теории неравенств», хотя для обоснования отдельных классов неравенств такую теорию удалось создать – это и некоторые разделы выпуклого анализе, и теория мажоризации, и ряд других. Так или иначе, но неравенства встречаются как в классических разделах математики (в геометрии, в дифференциальном и интегральном исчислении, в теории чисел), так и в достаточно современных её разделах (теория автоматов, теория кодирования). Количество новинок среди даже не неравенств, а классов неравенств увеличивается необычайно быстро, стремительно и неудержимо.

Можно было бы указать имена тех учёных, кто получил первым тот или иной результат, касающийся неравенств. Однако многие из результатов были получены и применены как некоторые вспомогательные средства в какой – либо работе по геометрии, астрономии, или физике, а затем переоткрыты много лет спустя. Это послужило причиной тому, что даже названия многих замечательных неравенств не устоялись, а также терминология вообще. В разных странах и в разных математических школах одно и то же неравенство называют по – разному и приписывают его открытие разным математикам. Зачастую давно полученное неравенство вдруг оказывается частным случаем и более общего, да и более молодого по срокам появления неравенства. Например, невозможно найти первооткрывателя того фундаментального факта, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, а значит для любых действительных чисел a и b справедливо соотношение
, а значит
, откуда получается знаменитое соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим, то есть , где
.

Список литературы.

Алексеев Р. Б., Курляндчич Л. Д. Неравенства // Математика в школе, 1990, № 3.

Антонова Н., Солодовиков С. Неравенство Коши о среднем арифметическом и геометрическом // Математика, 1999, № 20.

Берколайко С. Т. Использование неравенства Коши при решении задач // Квант, 1975, № 4.

Волошинов А. В. Математики и искусство – М.: Просвещение, 1992.

Глейзер Г. И. История математики в средней школе. – М.: Просвещение, 1970.

Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.

Гольдман А., Звавич Л. Числовые средние и геометрия // Квант, 1990, № 9.

Гомонов С. А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10 – 11 классы: учебное пособие. – М.: Дрофа, 2006.

Готман Э. Геометрические задачи на максимум и минимум // Квант, 2005, № 2.

Дубровский В. Н. Задача об общей внешней касательной к окружностям, касающимся внешним образом // Квант, 1986, № 2.

Егоров А. Треугольники и неравенства // Квант, 2005, № 2.

Искандеров А. Геометрические доказательства теорем о средних // Квант, 1981, № 2.

Крейн М., Кудельман А. Замечательные пределы, порождаемые классическими средними // Квант, 1981, № 9.

Крейн М., Нудельман А. Замечательные пределы, порождаемые классическими средними // Квант, 1981, № 9.

Кушнир И. А. Урок одной задачи // Квант, 1986, № 9.

Мугаллимова С. Среднее. В среднем. О среднем… // Математика, 2000, № 8.

Савин А., Сендеров В. Описанная трапеция и средние //Квант, 1972, № 8.

Седракян Н. О применении одного неравенства // Квант, 1997, № 2.

Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.

Скопец З. А. Сравнение различных средних двух положительных чисел // Квант, 1979, № 2.

Соловьёв Ю. Неравенства // Математика, 2006, № 5.

Сороки Г. Классические неравенства в задачах // Математика, 2005, № 15.

Фалин Г., Фалин А. Сложные задачи вступительных экзаменов в МГУ: неравенства о средних // Математика, 2006, № 10.

Чистяков И. Неравенства Коши о средних арифметическом и геометрическом // Математика, 2000, № 7, № 8.

Чистяков И. Неравенства Коши о среднем арифметическом и геометрическом // Математика, 2000, № 7.

Шлейфер Ф. Г. Круговые неравенства // Математика в школе, 1994, № 3.

Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1989.

ДокументКнига

Кан­товское мнение. Возможны различные математики , например в области... выстраивает свою положительную философию математики . « ... . А.П. Юшкевич (История математики в Средние века. М., 1961. ... Они являются воплощением нера­венства Коши -Буняковского-Шварца в...

1. Математика экономического профиля

   Документ

   ... математики (Зарождение математики . Математика постоянных величин, как второй период развития математики . Математика ... положительно ... неравенство Коши -Буняковского-Шварца; ортогональные системы; неравенство ... среднем , ... различных задач с использованием различных ...

Белавина Ксения

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии. Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства. Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

Скачать:

Предварительный просмотр:

НЕРАВЕНСТВО КОШИ

Введение

"Основные результаты математики

Чаще выражаются неравенствами,

А не равенствами".

Э.Беккенбах, Р.Беллман.

1. Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии. Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства. Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

С помощью классических неравенств во многих случаях можно осуществить исследования на максимум и минимум целого ряда функций без обращения к нахождению и исследованию их производных (тем более, что производная исследуемой функции может отсутствовать).

Задачи, относящиеся к наибольшим и наименьшим значениям или задачи на максимум и минимум более привлекательны, чем другие математические задачи и это имеет простые причины. У каждого из нас есть свои личные задачи. Эти задачи очень часто являются своего рода задачами на максимум или минимум. Мы хотим получить определенный предмет за наиболее низкую возможную цену, или наибольший возможный эффект при определенном усилии, или максимальную работу, произведенную за данное время, и конечно, хотим как можно меньше рисковать. Математические задачи на максимум привлекательны потому, что они идеализируют наши повседневные задачи.

То, что подобные задачи на оптимизацию встречались еще в глубокой древности, донесли до нас мифы Древней Греции и Рима. Вот один из таких мифов, наполовину древнегреческий, наполовину древнеримский. Дочь царя Тира, Дидона, жена жреца храма Геракла Акербаса вынуждена была бежать из Финикии, в Северную Африку. Причина бегства - ее брат, Пигмалион, позаривщийся на богатства ее мужа и убивший его. Многочисленные сокровища мужа и (видимо поэтому) многочисленные спутники Дидоны нуждались в пристанище. Чтобы обрести его беглянка купила у берберийского царя Ярба землю, причем по условию она в обмен на немалые сокровища могла взять ровно столько земли, сколько покроет одна бычья шкура. Чтобы выполнить это условие и получить достаточно большую территорию, Дидона разрезала шкуру на тонкие ремни,сделала из них длинную веревку и "окружила" ею изрядный кусок земли, естественно, круглой формы, на котором основала Карфаген.

Задача, которую решила Дидона, может быть сформулирована так: найти замкнутую кривую заданной длины, ограничивающую часть плоскости с максимальной площадью. Задачи типа задачи Дидоны называются в математике изопериметрическими задачами (от греческого слова isos - равный и perimetrio - измеряю вокруг).

2. Неравенство Коши, его частные случаи.

Одно из самых известных замечательных неравенств - это соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких действительных неотрицательных чисел, опубликованное в 1821 году французским математиком Агюстеном Луи Коши и ставшее столь популярным, что для него к настоящему времени найдены десятки доказательств и сотни применений.

2.1. "Школьный" вариант неравенства Коши.

Докажите, что для любых неотрицательных a и b справедливо неравенство

(a + b) / 2 ≥ √ ab,

a=b.

Решение. Составим и преобразуем разность между левой и правой частями доказываемого равенства, а затем сравним эту разность с 0 :

a+b/2-√ab=(a-2√ab + b)/2=1/2(√a-√b)²≥0,

что и доказывает исследуемое неравенство, а также дает условие реализации этого соотношения в варианте равенства, а именно, когда a=b.

2.2. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c, d справедливо неравенство (неравенство Коши для четырех переменных):

(a+b+c+d)/4≥ 4 √abcd¸

при чем это соотношение реализуется в варианте равенства только если a=b=c=d.

Решение. (a+b+c+d)/4=((a+b)/2+(c+d)/2)/2≥(√ab+√cd)/2≥√√ab·√cd= 4 √abcd¸

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия: (a +b)/2=√ab; (c+d)/2=√cd ; √ab=√cd ¸ т.е. когда a=b=c=d. Доказательство завершено.

2.3.Теорема. Неравенство Коши для произвольного числа параметров.

Для любых действительных неотрицательных чисел x 1, х 2, …, х n справедливо следующее неравенство (x 1 + х 2 + … + х n )/n ≥ n √ x 1 · х 2 · … · х n

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x 1= х 2= …= х n

Левая часть написанного выше неравенства называется средним арифметическим величин x 1, х 2, …, х n , а правая часть средним геометрическим. Иногда теорему называют "теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом ", или короче "теоремой о средних".

Другие варианты записи неравенства Коши:

а) ((x+ , х 2 + … + х n )/n) n ≥ x 1 · х 2 · … · х n

б) (x 1 + х 2 + … + х n ) n ≥ n n · x 1 · х 2 · … · х n

2.4. Неравенство Коши - Буняковского.

Теорема 1. Для любых действительных чисел a 1, a 2 ¸ …, а n, b 1, b 2 ¸ …, b n (n - любое натуральное число, больше 1) справедливо следующее неравенство

(a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n )²≤(a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n ²)(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²) или a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n ≤√ a 1 ²+ a 2 ²+…+ a 2 n · √ b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ² , именуемое неравенством Коши - Буняковского, причем данное соотношение реализуется в варианте равенства тогда и только тогда, когда выполняются условия b 1 /а 1 = b 2 /а 2 =…= b n /а n .

Доказательство.

1. Пусть а 1 =а 2 =…= а n =0 и утверждения теоремы 1 очевидно справедливы.

2. Пусть теперь хотя бы одно из чисел а 1, а 2, … а n отлично от нуля. Введем тогда следующие обозначения: А= a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n ²>0, С=b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ², В= a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n , позволяющие записать изучаемое неравенство в следующем виде В 2 ≥ АС. Очевидно, что ему будет равносильно неравенство (2В) 2 – 4АС ≤ 0, что подсказывает ввести в рассмотрение следующую вспомогательную функцию f(x)=Ax 2 + 2Bx+C, xє R. Легко видеть, что f(x)=Ax 2 + 2Bx+C= (a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n )х 2 +2(a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n )х+(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²)=(a 1 х+b 1 ) 2 +… +(а n х+b n ) 2 , т.е. при любом х значение этой квадратичной функции (с положительным коэффициентом при х 2 ) неотрицательно, а это означает, что дискриминант рассматриваемого трехчлена меньше или равен нулю, т.е. D=4В 2 -4АС≤0, а значит , В 2 ≤А·С, иначе говоря, для любых действительных чисел а 1, а 2, … а n , b 1 , b 2 , …,b n справедливо неравенство Коши-Буняковского: (a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n ) 2 ≤(a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n )(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²) , причем равенство в полученном соотношении достигается тогда и только тогда, когда D=0 , т.е. когда график функции f(x) касается оси ОХ , а значит, уравнение Ax 2 + 2Bx+C=0 имеет ровно один корень, т.е. когда следующая система уравнений совместна:

a 1 х+b 1 =0,

а n х+b n =0 ,

т.е. когда b 1 / a 1 = b 2 / a 2 =…= b n / а n . Теорема доказана.

3 . Свойство монотонности среднего степенного .

С α (а) =(( a 1 α + a 2 α +…+ a n α )/п) 1/α – среднее степенное порядка α положительных чисел а 1, а 2, … а n. Для действительных α и β, таких, что α ≤ β имеет место неравенство (свойство монотонности) С α (а) ≤ С β (а).

Теорема 1. Если сумма двух положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.

Доказательство. Пусть х и у х+у=с , где с - постоянная величина.

Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим: (х+у)/2≥√ху или с /2≥√ху или, наконец,

ху≤c²/4.

Отсюда видно, что наибольшее значение произведения ху равно c²/4 и получается оно при х=у .

Теорема 2. Если сумма n положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда все эти переменные принимают одинаковые значения.

Доказательство. Пусть x 1 , х 2 ,…,х n - положительные переменные величины и пусть x 1 + х 2 + … + х n =с, где с постоянна. По теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:

(x 1 + х 2 + … + х n )/ n ≥ n √ x 1 , х 2 ,…,х n .

Отсюда x 1 х 2 …х n ≤(с/п) п , здесь знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x 1 = х 2 = … = х n . Следовательно, наибольшее значение произведения x 1 х 2 …х n равно (с/п) п и получается оно при x 1 = х 2 = … = х n . Теорема доказана.

Теорема 3. Если произведение переменных x 1 , х 2 ,…,х n постоянно, то их сумма x 1 + х 2 + … + х n принимает наименьшее значение при x 1 = х 2 = … = х n .

5. Решение задач.

5.1. Задачи на наименьшее и наибольшее значение функции.

Задача 1 . Найти наибольшее значение функции f(x)=х 4 (32- х 4 ).

Решение. Заметим, что при х‹ 4 √32 множители х 4 и 32-х 4 положительны, а их сумма является величиной постоянной. По теореме 1 наибольшее значение данной функции получим при условии, что

х 4 = 32- х 4 ,

2х 4 = 32,

Х 4 =16,

х=2.

При х=2 f(x)=2 4 (32- 2 4 )= 16·16=256.

Ответ: 256.

Задача 2. Найти наибольшее значение функции f(x) =√х-2 + +√16-х.

Если f(x)≥ 0 и не удается найти наибольшее и наименьшее значение f(x), то в некоторых случаях задачу можно решить путем отыскания наибольшего или наименьшего значения функции [ f(x) ] 2 т.е. квадрата данной функции.

Решение. х-2 ≥ 0, х ≥ 2,

16-х≥0; х ≤ 16; 2 ≤ х≤ 16.

Функция f(x) определена для значений х, удовлетворяющих неравенству

2 ≤ х≤ 16.

При х=2 и х=16 функция обращается в нуль, а при всех значениях х, заключенных между 2 и 16, она положительна.

Найдем наибольшее значение квадрата данной функции, т.е. функции 14+2√ (х-2)(16-х).

Множители (х-2) и (16-х) положительны и в сумме дают 14, т.е. постоянную величину. Следовательно, наименьшее значение получится при условии х-2=16-х,

2х=18,

Х=9.

Наибольшее значение квадрата данной функции равно

14+2√ (9-2)(16-9)=14+2√49=28, а наибольшее значение самой данной функции будет равно √28.

Ответ: √28.

Задача 3. На гиперболе у=2/х найдите точки, ближайшие к началу координат.

Решение. ООФ: х≠0. Функция у=2/х – нечетная, искомых точек будет две.

Пусть кротчайшее (наименьшее) расстояние от О(0;0) до точек гиперболы М(х;у) и М 1 (х 1 ;у 1 ) будет равно d .

Тогда d=√х 2 +у 2 , где у=2/х ,

D=√х 2 +4/х 2 .

Х 2 +4/х 2 ≥2 √х 2 ∙4/х 2 ,

Х 2 +4/х 2 ≥4,

√х 2 +4/х 2 ≥2,

D≥2.

Очевидно, что d наим. =2, если х 2 =4/х 2 , х 4 =4, х 1 =√2,

Х 2 =-√2.

Имеем: х=√2, и х=-√2,

У=√2. у=-√2.

Ответ: М 1 (√2;√2 ), М 2 (-√2 ; -√2 ).

5.2. Задачи на экстремумы.

Задача 4. Найдите экстремумы функции у=х 4 -4х 3 +4х 2 .

Решение. О.О.Ф.: х - любое действительное число.

у=х 2 (х 2 -4х+4)=х 2 (х-2) 2 =х·х(2-х)(2-х)

у=0, если х=0; 2.

При 0 ≤ х ≤ 2, 2 – х ≥ 0 , поэтому можно записать

(х+х+2-х+2-х)/4 ≥ 4 √ х 2 (2-х) 2 ,

4 √ х 2 (2-х) 2 ≤ 1,

Х 2 (2-х) 2 ≤ 1,

У ≤ 1.

Находим у max = 1 при х = 2-х, х = 1.

У min = 0 при х = 0; 2.

Задача 5. Найдите экстремальное значение функции у = х 2 - х 3 .

Решение . D(y) = R (ООФ: х -любое действительное число).

У = х 2 -х 3 = х 2 (1-х) = 1/2х 2 (2-2х).

Используем неравенство Коши:

х+х+2-2х/3≥ 3 √х∙х(2-2х),

откуда 3 √х 2 (2-2х)≤2/3

Х 2 (2-2х)≤8/27,

2х 2 (1-х)≤8/27,

2у≤8/27,

у≤4/27 .

Отсюда можно сделать вывод: у max = 4/27 при х = 2-2х, т.е. при х = 2/3.

Ответ:y max = 4/27.

5.3. Использование свойство монотонности среднего степенного.

Задача 6 . Найти наибольшее и наименьшее значение функции

У = (1+х) n +(1-х) n на [-1;1].

Решение. Воспользовавшись свойством монотонности среднего степенного, получим:

(((1+х) n +(1-х) n )/2) 1/ n ≥((1+х)+(1-х))/2=1.

Значит у min = 2.

При х = 0.

Для нахождения наибольшего значения функции воспользуемся очевидными неравенствами:

((1+х)/2) n ≤(1+х) и ((1-х)/2) n ≤(1-х) (так как по условию 0≤(1+х) и 0≤(1-х)≤1 ). Сложив эти неравенства, получим:

Y max = 2 n .

Задача 7. Точка М лежит внутри треугольника, АВС - расстояние от М до стороны треугольника, НКР – соответствующие высоты. Найдите наименьшее значение выражения:

(А/Н) α +(В/К) α +(С/Р) α при α≥1.

Решение. Имеем 2S =aA+bB+cC=aH=bК=сР , где S – площадь треугольника. Разделим обе части равенства aA+bB+cC=aH на аН :

А/Н+ (b/a)(В/Н)+(с/а)(С/Н)=1, так как (b/a)=(Н/К) и (с/а)=(Н/К), то А/Н+В/К+С/Р=1.

В сумме свойства монотонности среднего степенного, получаем:

(А/Н) α +(В/К) α +(С/Р) α ≥3(⅓) α =1/3 α -1 при α≥1.

Значит, наименьшее значение данного выражения равно 1/3 α -1.

5.4. Применение неравенства Коши – Буняковского.

Задача 8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции u = х 1 у 1 +х 2 у 2 +…+х n у n , если известно, что х 1 2 +х 2 2 +…+х n 2 ≤а 2 , у 1 2 +у 2 2 +…+у n 2 ≤b 2 , где а,b – положительные числа.

Решение. В силу неравенства Коши – Буняковского

(х 1 у 1 +х 2 у 2 +…+х n у n ) 2 ≤(х 1 2 +х 2 2 +…+х n 2 )∙(у 1 2 +у 2 2 +…+у n 2 ) или u 2 ≤a 2 b 2 , откуда - ab≤u≤ab . Значит, u min =-ab, u max =ab.

5.5 Геометрические задачи на максимумы и минимумы.

Задача 9. Дана плоскость поверхности ящика; найдите максимум его объема.

Решение. Ящик – прямоугольный параллелепипед. Пусть а,b,c – длины трех ребер ящика, выходящие из одной и той же вершины, S – площадь поверхности, V – объем.

Очевидно, S=2(аb+ac+bc), V=abc. Заметим, что аb+ac+bc = S/2, аb∙ac∙bc = V 2 .

По теореме о средних V 2 =(abc)‹((аb+ac+bc)/3) 3 =(S/6) 3 , если не выполняется равенство аb=ac=bc, или a=b=c.

Иначе говоря, V‹(S/6) 3/2 , если ящик не являлся кубом, когда осуществляется равенство. Результат можно выразить в двух различных (хотя по существу эквивалентных) формах:

1) из всех ящиков с данной площадью поверхности куб имеет наибольший объем;

2) всех ящиков с данным объемом куб имеет наименьшую площадь поверхности.

Задача 10 . Найдите среди всех треугольников с заданным периметром тот, чья площадь наибольшая.

Решение . Если обозначим стороны произвольного треугольника символами x, y и z , то по условию 0‹х‹у+z, 0‹у‹х+z, 0‹z‹х+у и х+у+z=2р , где фиксированное число р›0 . Требуется определить наибольшее значение выражения S=√р(р-а)(р-b)(р-с)=√р∙√(р-а)(р-b)(р-с) . Неравенство Коши немедленно дает 3 √(р-а)(р-b)(р-с)≤((р-а)+(р-b)+(р-с))/3=р/3, т.е . S≤√р∙√(р/3) 3 =р 2 /3√3 , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда р-а=р-b=р-с , т.е. для равностороннего треугольника.

Задача 11 . Из гранита нужно вырубить постамент в форме прямоугольного параллелепипеда, высота которого должна быть равна диагонали основания, а площадь основания должна быть равна 4м 2 . При каких длинах сторон основания площадь поверхности постамента будет наименьшей?

Решение. Обозначим символами х и у длины (в метрах) сторон прямоугольника, лежащего в основании постамента. Тогда высота постамента h=√х 2 +у 2 , а площадь поверхности S=2(х+у)√ х 2 +у 2 +8, причем ху=4 и х,у - положительные числа. Так как х∙у=4, х›0, у›0 , то неравенство Коши дает, что х+у≥2√ху=4 , а х 2 +у 2 ≥2ху=8 , т.е. √х 2 +у 2 ≥√ 8. Следовательно, S≥8+16√2 (м 2 ), причем равенство, очевидно, достигается при х=у=2.

6. Заключение. Я показала не традиционный способ решения целого ряда задач на нахождение экстремумов функции с помощью замечательного неравенства Коши. Такой способ является удобным и во многих случаях более простым и быстрым решением задач на максимум и минимум без обращения к нахождению к производной данной функции.

1. Введение.

2 . Неравенство Коши, его частные случаи .

3.Свойство монотонности среднего степенного.

4. Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении.

5. Решение задач.

6. Заключение.

7. Список литературы.

7. Список литературы .

1. В. К. Смышляев. Практикум по решению задач школьной математики. Просвещение, 1978.

2. Д. Пойа. Математика и правдоподобные размышления. Наука, 1975.

3. С. И. Туманов. Поиски решения задачи. Просвещение, 1967.

4. А. В. Ефремов, М. А. Ефремов, С. А. Загидуллина. Особые применения решения экстремальных задач. Магариф, 2003.

5. С. А. Гомонов. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. Дрофа, 2005.