Сечение параллелепипеда по трем точкам примеры. Первый урок на построение сечений многогранников

Цели урока: рассмотреть решение задач на построение сечений, если две точки сечения принадлежат одной грани.

Ход урока

Изучение новых понятий
Определение 1. Секущая плоскость многогранника - любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Определение 2. Сечение многогранника - это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
Задание. Назовите отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда (рис. 1). Назовите сечение параллелепипеда.

Основные действия при построении сечений

Решение задач

Задача 1. Какой из четырехугольников, EFKM или EFKL, может быть сечением данного многогранника (рис. 2)? Почему?

Задача 2. Ученик изобразил сечение тетраэдра (рис. 3). Возможно ли такое сечение?

Решение . Нужно доказать, что N, M и H, L лежат в одной плоскости. Пусть точки N и M принадлежат задней грани, H и L - нижней грани, то есть точка пересечения NM и HL должна лежать на прямой, принадлежащей обеим граням, то есть AC. Продлим прямые NM и HL и найдем точку их пересечения. Эта точка не будет принадлежать прямой AC. Значит, точки N, M, L, H не образуют плоский многоугольник. Невозможно.

Задача 3. Построить сечение тетраэдра ABCS плоскостью, проходящей через точки K, L, N, где K и N - середины ребер SA и SB соответственно (рис. 4).

1. В какой грани можно построить стороны сечения?

2. Выбираем одну из точек, на которой оборвалось сечение.
Решение. Способ I. Выбираем точку L.
Определяем грань, в которой лежит выбранная точка и в которой надо построить сечение.

Определяем грань, в которой лежит прямая KN, не проходящая через выбранную точку L.

Находим линию пересечения граней ABC и ASB.

Каково взаимное расположения прямых KN и AB (рис. 5)?
[Параллельны.]

Что нужно построить, если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную линии пересечения плоскостей?
[Через точку L провести прямую, параллельную AB. Эта прямая пересекает ребро CB в точке P.]
Соединяем точки, принадлежащие одной грани. KLPN - искомое сечение.
Способ II . Выбираем точку N (рис. 6).

Определяем грани, в которых лежат точка N и прямая KL.

Линией пересечения этих плоскостей будет прямая SC. Находим точку пересечения прямых KL и SC. Обозначим ее Y.
Соединяем точки N и Y. Прямая NY пересекает ребро CB в точке P.
Соединяем точки, принадлежащие одной грани.
KLNP - искомое сечение.
Объясните данное решение.
Один учащийся работает у доски, остальные в тетрадях.

Задача 4 . Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки M, P и H, H ` (A1B1C1) (рис. 7).

Решение. 1. Соедините точки, принадлежащие одной грани.
2. Какую прямую и точку выбираем для построения сечения?
3. Что определяем дальше?
4. Каково взаимное расположение выбранной прямой и линии пересечения граней (рис. 8)?

5. Как построить след секущей плоскости на грани B1C1D1A1, проходящий через точку H?
6. Соедините точки, принадлежащие одной грани.
7. Какую прямую и точку нужно выбрать для построения следа секущей плоскости на грани AA1D1D?
8. Каково взаимное расположение граней BB1C1C и AA1D1D?
9. Каким свойством необходимо воспользоваться для построения следа секущей плоскости на грани AA1D1D?
10. Назовите искомое сечение.

Задача 5. Построить сечение пирамиды SABCD, проходящее через точки M, P и H,
H` (ABC) (рис. 9).

Ответ: см. рисунок 10.

Задание на дом

Задача . Как изменятся построения, если точ-
ка H изменит свое положение? Построить сечения, используя разные варианты (рис. 11).

В этом методе мы первым действием (после нахождения вторичных проекций данных точек) строим след секущей плоскости на плоскости верхнего или нижнего основания призмы или усечённой пирамиды или на основании пирамиды

Зад 2. Дано изображение треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 и трёх точек M , N , P , которые лежат соответственно на ребре СС 1 и гранях ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 . Построить сечение призмы плоскостью , проходящей через M , N , P .

Решение. Мы уже имеем одну точку на верхнем основании призмы, поэтому и след мы будем строить на верхнем основании. Строим вторичные проекции точек N и P на верхнее основание.Затем: 1 .N P N 3 P 3 =X ; 2 .M X =p –след; 3 .p B 1 C 1 =D .

Дальнейшие действия уже были показаны выше на чертеже.

Зад 3. Реш. Мы будем строить след секущей плоскости на нижнем основании призмы.

Строим:1. M N E D =X , M P EP 3 =Y ;

2. p =XY – след;3. p B C =G , p D C =H .

Нам нужно найти точку на ребре BB 1 или на ребре AA 1 .

ВграниABB 1 A 1 мы уже имеем одну точку P . Поэтому нижнее ребро этой грани, т.е. AB , мы продолжаем до пересечения со следом.

4. A B p =Z .

5. P Z AA 1 =F ; P Z BB 1 =K .Дальнейшие действия уже показаны выше.

Если окажется, что линия AB не пересекается со следом, то искомая FK тоже будет параллельна следу. Зад 4. Реш. 1. P N P o N o =X ;

2. M N CN o =Y ;3. p =XY – след;

3. C B p =Z ;4. Z M S B =E ;

5. E N S A =G 6. GEMF – иск сечение.

17. Построение сечения цилиндра.

Если секущая плоскость задана тремя точками, то мы всегда можем найти её след на плоскости основания цилиндра или конуса и точку (P , O ) на его оси. Поэтому считаем, что секущая плоскость задана именно этими элементами.

Сначала рас-им случай, когда плоскость пересекает только боковую поверхность цилиндра. Тогда сечением цилиндра будет эллипс (;¯ и его изображение – тоже эллипс. Мы знаем способ построения эллипса, если известны два его сопряжённых диаметра. Мы сейчас покажем, как можно найти изображение главных диаметров эллипса (;¯.

Пусть  и  1 – эллипсы, изображающие нижнее и верхнее основания цилиндра, O и O 1 – их центры. Проведём диаметр A 3 B 3 нижнего основания, параллельный следу и сопряжённый ему диаметр C 3 D 3 . Для построения C 3 D 3 мы используем хорду K 3 L 3 , один конец которой принадлежит контурной образующей. Напомним, что A 3 B 3 и C 3 D 3 изображают перпендикулярные диаметры. Продолжим C 3 D 3 до пересечения со следом. Получим точ X . Прям.PX наз-ём осью сечения.

Поднимем точки C 3 и D 3 до оси сечения. Получим C и D . Отрезок CD является изображением большогодиаметра сечения. Поднимем отрезок A 3 B 3 на высоту OP . Получим отрезок AB , который является изображением малого диаметра сечения. Отр-и AB и CD –сопряж-ые диам. эллипса .

Найти ещё точки, в которых эллипс переходит с видимой стороны цилиндра на невидимую, а значит, сплошная линия переходит в пунктир. Это точки пересечения секущей плоскости с контурными образующими. ПустьY 3 =K 3 L 3 C 3 D 3 . Поднимем Y 3 до оси сечения. Получим точку Y . Поднимем хорду K 3 L 3 на высоту YY 3 . Получим отрезок KL . Мы нашли требуемую точку K , а попутно, ещё одну дополнительную точку L . Точка M , изобр-щая пересечение секущей плоск-и со второй контурной образующей симметрична точкеK относительно точкиP .Допол-но построим точN , симметричнуюL относ-нточки P

Покажем способ, как можно найти любое кол-во точек на сечении без испол-ия этих диаметров.

выбираем люб. точкуV 3 на эллипсе . Проводим диаметрV 3 T 3 и продолжаем его до пересечения со следом.Получим точкуU . Поднимаем точки V 3 и T 3 до прямой UP . Получаем две точки V и T на сечении. Выбирая вместо V 3 другую точку, получим др. 2 точки на сеч.Если выбрать точку K 3 , лежащую на контурно образующей, мы найдём точки K и M , в которых сплошная линия на сечении должна перейти в пунктирную.

Преподаватель математики Щелковского филиала ГБПОУ МО "Красногорский колледж" Артемьев Василий Ильич.

Изучение темы «Решение задач на построение сечений» начинается в 10 классе или на первом курсе учреждений НПО. В случае, если кабинет математики оснащен средствами мультимедиа, то решение проблемы изучения облегчается с помощью различных программ. Одной из таких программ является программное обеспечение динамической математики GeoGebra 4.0.12. Она подходит для изучения и обучения на любом из этапов образования, облегчает создание математических построений и моделей обучающимися, которые позволяют проводить интерактивные исследования при перемещении объектов и изменение параметров.

Рассмотрим применение этого программного продукта на конкретном примере.

Задача. Построить сечение пирамиды плоскостью PQR, если точка P лежит на прямой SA, точка Q лежит на прямой SB, точка R лежит на прямой SC.

Решение. Рассмотрим два случая. Случай 1. Пусть точка P принадлежит ребру SA.

1. Отметим с помощью инструмента «Точка» произвольные точки A, B, C, D. Щелкнем правой клавишей на точку D, выберем «Переименовать». Переименуем D на S и установим положение этой точки, как показано на рисунке 1.

2. С помощью инструмента «Отрезок по двум точкам» построим отрезки SA, SB, SC, AB, AC, BC.

3. Щелкнем правой клавишей мыши по отрезку AB и выбираем «Свойства» - «Стиль». Устанавливаем пунктирную линию.

4. Отметим на отрезках SA, SB, CS точки P, Q, R.

5. Инструментом «Прямая по двум точкам» построим прямую PQ.

6. Рассмотрим прямую PQ и точку R. Вопрос учащимся: Сколько плоскостей проходит через прямую PQ и точку R? Ответ обоснуйте. (Ответ. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна).

7. Строим прямые PR и QR.

8. Выбираем инструмент «Многоугольник» и по очереди щелкнем по точкам PQRP.

9. Инструментом « Перемещать» меняем положение точек и наблюдаем за изменениями сечения.

Рисунок 1.

10. Щелкнем по многоугольнику правой клавишей и выбираем «Свойства» - «Цвет». Заливаем многоугольник каким-нибудь нежным цветом.

11. На панели объектов щелкнем по маркерам и скроем прямые.

12. В качестве дополнительного задания можно измерить площадь сечения.

Для этого выберем инструмент «Площадь» и щелкнем левой клавишей мыши по многоугольнику.

Случай 2. Точка P лежит на прямой SA. Для рассмотрения решения задачи для этого случая можно пользоваться чертежом прежней задачи. Скроем лишь многоугольник и точку Р.

1. Инструментом «Прямая по двум точкам» построим прямую SA.

2. Отметим на прямой SA точку P1, как показано на рисунке 2.

3. Проведем прямую P1Q.

4. Выбираем инструмент «Пересечение двух объектов» , и щелкнем левой клавишей мыши по прямым АВ и P1Q. Найдем точку их пересечения К.

5. Проведем прямую P1R. Найдем точку пересечения М этой прямой с прямой АС.

Вопрос учащимся: сколько плоскостей можно провести через прямые P1Q и P1R? Ответ обоснуйте. (Ответ. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).

6. Проведем прямые КМ и QR. Вопрос учащимся. Каким плоскостям одновременно принадлежат точки К, М? Пересечением каких плоскостей является прямая КМ?

7. Построим многоугольник QRKMQ. Зальем нежным цветом и скроем вспомогательные прямые.

Рисунок 2.

С помощью инструмента «Перемещение» двигаем точку вдоль прямой AS.Рассматриваем различные положения плоскости сечения.

Задания для построения сечений:

1. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА1 и СС1. Сколько плоскостей проходит через параллельные прямые?

2. Построить сечение проходящее через пересекающиеся прямые. Сколько плоскостей проходит через пересекающиеся прямые?

3. Построение сечений с использованием свойств параллельных плоскостей:

а) Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС.

б) Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1.

в) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельно плоскости основаниям пирамиды.

4. Построение сечений методом следов:

а) Дана пирамида SABCD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

5) Проведем прямую QF и найдем точку Н пересечения с ребром SB.

6) Проведем прямые HR и PG.

7) Выделим инструментом «Многоугольник» полученное сечение и изменим цвет заливки.

б) Самостоятельно постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, K и M. Список источников.

1. Электронный ресурс http://www.geogebra.com/indexcf.php

2. Электронный ресурс http://geogebra.ru/www/index.php (Сайт Сибирского института GeoGebra)

3. Электронный ресурс http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF

4. Электронный ресурс. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/

5. Электронный ресурс http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(Форум GeoGebra для учителей и школьников).

6. Электронный ресурс www.geogebratube.org (Интерактивные материалы по работе с программой)

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме « Задачи на построение сечений в параллелепипеде». Вначале мы повторим четыре основные опорные свойства параллелепипеда. Затем, используя их, решим некоторые типовые задачи на построение сечений в параллелепипеде и на определение площади сечения параллелепипеда.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Задачи на построение сечений в параллелепипеде

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Задачи на построение сечений в параллелепипеде» .

Рассмотрим параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 1). Вспомним его свойства.

Рис. 1. Свойства параллелепипеда

1) Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.

Например, параллелограммы АВСD и А 1 B 1 C 1 D 1 равны (то есть их можно совместить наложением) и лежат в параллельных плоскостях.

2) Длины параллельных ребер равны.

Например, AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (рис. 2).

Рис. 2. Длины противоположных ребер параллелепипеда равны

3) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Например, диагонали параллелепипеда BD 1 и B 1 D пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 3).

4) В сечение параллелепипеда может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

Задача на сечение параллелепипеда

Например, рассмотрим решение следующей задачи. Дан параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 и точки M, N, K на ребрах AA 1 , A 1 D 1 , A 1 B 1 соответственно (рис. 4). Постройте сечения параллелепипеда плоскостью MNK. Точки M и N одновременно лежат в плоскости AA 1 D 1 и в секущей плоскости. Значит, MN - линия пересечения двух указанных плоскостей. Аналогично получаем MK и KN. То есть, сечением будет треугольник MKN.

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 50

2. Дан параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 . М и N - середины ребер DC и A 1 B 1 .

а) Постройте точки пересечения прямых АМ и AN плоскостью грани ВВ 1 С 1 С.

б) Постройте линию пересечения плоскостей AMN и ВВ 1 С 1

3. Постройте сечения параллелепипеда АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через ВС 1 и середину М ребра DD 1 .

Определение

Сечение - это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур. Напомним основные факты.
Для более подробного изучения рекомендуется ознакомиться с темами “Введение в стереометрию. Параллельность” и “Перпендикулярность. Углы и расстояния в пространстве” .

Важные определения

1. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Две прямые в пространстве скрещиваются, если через них нельзя провести плоскость.

4. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

5. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\) .

6. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

7. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\) .

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Важные теоремы

1. Если прямая \(a\) , не лежащая в плоскости \(\pi\) , параллельна некоторой прямой \(p\) , лежащей в плоскости \(\pi\) , то она параллельна данной плоскости.

2. Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\) . Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\) , то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) - прямая \(m\) - параллельна прямой \(p\) .

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

4. Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\) , то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\lambda\) . Если прямая \(s\) пересекает плоскость \(\lambda\) в точке \(S\) , не лежащей на прямой \(l\) , то прямые \(l\) и \(s\) скрещиваются.

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть \(AH\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\) . Пусть \(AB, BH\) – наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\) . Тогда прямая \(x\) в плоскости \(\beta\) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

Для этого из двух произвольных точек \(A\) и \(B\) прямой \(a\) проведем перпендикуляры на плоскость \(\mu\) – \(AA"\) и \(BB"\) (точки \(A", B"\) называются проекциями точек \(A,B\) на плоскость). Тогда прямая \(A"B"\) – проекция прямой \(a\) на плоскость \(\mu\) . Точка \(M=a\cap A"B"\) и есть точка пересечения прямой \(a\) и плоскости \(\mu\) .

Причем заметим, что все точки \(A, B, A", B", M\) лежат в одной плоскости.

Пример 1.

Дан куб \(ABCDA"B"C"D"\) . \(A"P=\dfrac 14AA", \ KC=\dfrac15 CC"\) . Найдите точку пересечения прямой \(PK\) и плоскости \(ABC\) .

Решение

1) Т.к. ребра куба \(AA", CC"\) перпендикулярны \((ABC)\) , то точки \(A\) и \(C\) - проекции точек \(P\) и \(K\) . Тогда прямая \(AC\) – проекция прямой \(PK\) на плоскость \(ABC\) . Продлим отрезки \(PK\) и \(AC\) за точки \(K\) и \(C\) соответственно и получим точку пересечения прямых – точку \(E\) .

2) Найдем отношение \(AC:EC\) . \(\triangle PAE\sim \triangle KCE\) по двум углам (\(\angle A=\angle C=90^\circ, \angle E\) – общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за \(a\) , то \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2\) . Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\) с основанием \(ABC\) , высота которой равна стороне основания. Пусть точка \(M\) делит боковое ребро пирамиды в отношении \(1:4\) , считая от вершины пирамиды, а \(N\) – высоту пирамиды в отношении \(1:2\) , считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\) .

Решение

1) Пусть \(DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2\) (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку \(O\) пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\) . Т.к. \(DO\perp (ABC)\) , то и \(NO\perp (ABC)\) . Значит, \(O\) – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр \(MQ\) из точки \(M\) на плоскость \(ABC\) . Точка \(Q\) будет лежать на медиане \(AK\) .
Действительно, т.к. \(MQ\) и \(NO\) перпендикулярны \((ABC)\) , то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки \(M, N, O\) лежат в одной плоскости \(ADK\) , то и точка \(Q\) будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка \(Q\) должна лежать в плоскости \(ABC\) , следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – \(AK\) .

Значит, прямая \(AK\) и есть проекция прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\) . \(L\) – точка пересечения этих прямых.

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки \(L\) (например, на нашем чертеже точка \(L\) лежит вне отрезка \(OK\) , хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим \(AB=DO=a\) . Тогда медиана \(AK=\dfrac{\sqrt3}2a\) . Значит, \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1{2\sqrt3}a\) . Найдем длину отрезка \(OL\) (тогда мы сможем понять, внутри или вне отрезка \(OK\) находится точка \(L\) : если \(OL>OK\) – то вне, иначе – внутри).

а) \(\triangle AMQ\sim \triangle ADO\) по двум углам (\(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle A\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{DO}=\dfrac{AQ}{AO}=\dfrac{MA}{DA}=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1{\sqrt3}a\]

Значит, \(QK=\dfrac{\sqrt3}2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1{\sqrt3}a=\dfrac7{10\sqrt3}a\) .

б) Обозначим \(KL=x\) .
\(\triangle LMQ\sim \triangle LNO\) по двум углам (\(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle L\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a} =\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, \(OL>OK\) , значит, точка \(L\) действительно лежит вне отрезка \(AK\) .

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\) (то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\) ).

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\) . Найдите сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) , проходящей через точку \(C\) и середину ребра \(SA\) и параллельной прямой \(BD\) .

Решение

1) Обозначим середину ребра \(SA\) за \(M\) . Т.к. пирамида правильная, то высота \(SH\) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость \(SAC\) . Отрезки \(CM\) и \(SH\) лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке \(O\) .

Для того, чтобы плоскость \(\alpha\) была параллельна прямой \(BD\) , она должна содержать некоторую прямую, параллельную \(BD\) . Точка \(O\) находится вместе с прямой \(BD\) в одной плоскости – в плоскости \(BSD\) . Проведем в этой плоскости через точку \(O\) прямую \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\) ). Тогда, соединив точки \(C, P, M, K\) , получим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) .

2) Найдем отношение, в котором делят точки \(K\) и \(P\) ребра \(SB\) и \(SD\) . Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

Заметим, что так как \(KP\parallel BD\) , то по теореме Фалеса \(\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}\) . Но \(SB=SD\) , значит и \(SK=SP\) . Таким образом, можно найти только \(SP:PD\) .

Рассмотрим \(\triangle ASC\) . \(CM, SH\) – медианы в этом треугольнике, следовательно, точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины, то есть \(SO:OH=2:1\) .

Теперь по теореме Фалеса из \(\triangle BSD\) : \(\dfrac{SP}{PD}=\dfrac{SO}{OH}=\dfrac21\) .

3) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах \(CO\perp BD\) как наклонная (\(OH\) – перпендикуляр на плоскость \(ABC\) , \(CH\perp BD\) – проекция). Значит, \(CO\perp KP\) . Таким образом, сечением является четырехугольник \(CPMK\) , диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Пример 4

Дана прямоугольная пирамида \(DABC\) с ребром \(DB\) , перпендикулярным плоскости \(ABC\) . В основании лежит прямоугольный треугольник с \(\angle B=90^\circ\) , причем \(AB=DB=CB\) . Проведите через прямую \(AB\) плоскость, перпендикулярную грани \(DAC\) , и найдите сечение пирамиды этой плоскостью.

Решение

1) Плоскость \(\alpha\) будет перпендикулярна грани \(DAC\) , если она будет содержать прямую, перпендикулярную \(DAC\) . Проведем из точки \(B\) перпендикуляр на плоскость \(DAC\) - \(BH\) , \(H\in DAC\) .

Проведем вспомогательные \(BK\) – медиану в \(\triangle ABC\) и \(DK\) – медиану в \(\triangle DAC\) .
Т.к. \(AB=BC\) , то \(\triangle ABC\) – равнобедренный, значит, \(BK\) – высота, то есть \(BK\perp AC\) .
Т.к. \(AB=DB=CB\) и \(\angle ABD=\angle CBD=90^\circ\) , то \(\triangle ABD=\triangle CBD\) , следовательно, \(AD=CD\) , следовательно, \(\triangle DAC\) – тоже равнобедренный и \(DK\perp AC\) .

Применим теорему о трех перпендикулярах: \(BH\) – перпендикуляр на \(DAC\) ; наклонная \(BK\perp AC\) , значит и проекция \(HK\perp AC\) . Но мы уже определили, что \(DK\perp AC\) . Таким образом, точка \(H\) лежит на отрезке \(DK\) .

Соединив точки \(A\) и \(H\) , получим отрезок \(AN\) , по которому плоскость \(\alpha\) пересекается с гранью \(DAC\) . Тогда \(\triangle ABN\) – искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) .

2) Определим точное положение точки \(N\) на ребре \(DC\) .

Обозначим \(AB=CB=DB=x\) . Тогда \(BK\) , как медиана, опущенная из вершины прямого угла в \(\triangle ABC\) , равна \(\frac12 AC\) , следовательно, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) .

Рассмотрим \(\triangle BKD\) . Найдем отношение \(DH:HK\) .

Заметим, что т.к. \(BH\perp (DAC)\) , то \(BH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(BH\) – высота в \(\triangle DBK\) . Тогда \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\) , следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x \Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

Рассмотрим теперь \(\triangle ADC\) . Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины. Значит, \(H\) – точка пересечения медиан в \(\triangle ADC\) (т.к. \(DK\) – медиана). То есть \(AN\) – тоже медиана, значит, \(DN=NC\) .