Как упростить квадратный корень. Формулы корней

На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Разложение корня на множители

Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель - упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде.

Определение 1

Разложение квадратного корня на множители - нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16.

Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:

Пример 1

Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.

Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.

Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.

Например, можно упростить таким способом 98: = 98 ÷ 2 = 49 . Из этого следует, что 2 × 49 = 98 , поэтому можно переписать задачу следующим образом: 98 = (2 × 49) .

Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.

Возьмем наш пример (2 × 49) :

Поскольку 2 уже и так максимально упрощено, необходимо упростить 49 . Ищем простое число, на которое можно разделить 49 . Очевидно, что ни 3 , ни 5 не подходят. Остается 7: 49 ÷ 7 = 7 , поэтому 7 × 7 = 49 .

Записываем пример в следующем виде: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Упростите выражение с квадратным корнем.

Поскольку в скобках у нас произведение 2 и двух одинаковых чисел (7) , то мы можем вынести за знак корня число 7 .

Пример 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.

Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.

В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.

Пример 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.

Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.

Пример 4

70 = 35 × 2 , поэтому 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5 , поэтому (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Как видим, все три множителя - простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить 70 нельзя.

Полный квадрат

Запомните несколько квадратов простых чисел.

Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.

Пример 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата.

Сложно? Нет:

Пример 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.

Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:

Пример 7

50 = (25 × 2) = 5 2 . Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.

1700 = (100 × 17) = 10 17 . Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.

72 = (9 × 8) = 3 8 . Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.

Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.

Пример 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В 8 классе школьники на уроках математики знакомятся с таким понятием, как «радикал» или, попросту говоря, «корень». Тогда же они впервые сталкиваются с такой проблемой, как упрощение сложных радикалов. Сложные радикалы – это такие выражения, в которых один корень находится под другим. Поэтому их ещё иногда называют вложенными радикалами. В данной статье репетитор по математике и физике подробно рассказывает о том, как упростить сложный радикал .

Методы упрощения сложных радикалов

Упростить сложный радикал — значит избавиться от внешнего корня. Правильнее всего начать изучение этой темы с упрощения двойных радикалов. Ведь если мы научимся упрощать двойные радикалы, то и более сложные тоже сумеем.

Как нам избавиться от внешнего корня? Понятно, что для этого нужно преобразовать подкоренное выражение, представив его в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся известной формулой «Квадрат разности»:

Здесь, как видите, справа у отрицательного члена есть множитель . Поэтому и под корнем давайте получим этот множитель. Для этого представим в виде произведения на :

Тогда и . Осталось только обратить внимание на то, что . Теперь видно, что под корнем у нас получился квадрат разности:

Теперь вспоминаем, что . Именно модулю. Здесь это очень важно, потому что квадратный корень – положительное число. Тогда получаем:

Ну а поскольку title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:

Вот так просто нам удалось упростить этот радикал. Но есть и более сложные случаи, когда не сразу удаётся догадаться, как представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Например, в следующем примере.

Чтобы долго не ломать голову, можно воспользоваться следующим способом.

Напоминаю, что наша цель состоит в том, чтобы представить выражение под корнем в виде полного квадрата. Конкретно в этом примере в виде квадрата суммы:

Ну а квадрат суммы раскрывается по известной формуле, которую мы сегодня уже писали:

Так вот, идея, собственно, состоит в том, чтобы за взять иррациональную часть подкоренного выражения, а за – рациональную. Тогда получается следующая система уравнений:

Понятно, что и . Иначе не выполняется второе уравнение системы. Тогда выражаем коэффициент из второго уравнения:

Знаменатель этой дроби не равен нулю, значит нулю равен её числитель. Получаем биквадратное уравнение, которое решается стандартным способом (подробнее смотрите в приложенном видео). Решая его, мы получаем аж 4 корня. Можно взять любой. Мне больше нравится . Тогда . Итак, получаем окончательно:

Вот такой способ, как упростить сложный радикал. Есть ещё один. Для любителей запоминать сложные формулы, коим я не являюсь. Но для полноты описания расскажу и о нём тоже.

Формула сложных радикалов

Вот так выглядит эта формула:

Довольно страшная, не правда ли? Но не бойтесь, её действительно можно успешно применять в некоторых случаях. Разберём на примере:

Подставляем в формулу соответствующие значения:

Вот такой получается ответ.

Итак, сегодня на занятии я рассказал о том, как упростить сложный радикал. Если вы не знали ранее методы, о которых сегодня шла речь, то скорее всего вам еще нужно очень многому научиться, чтобы чувствовать себя уверенным на ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике. Но не переживайте, я могу вас всему этому научить. Вся необходимая информация о моих занятиях находится на . Удачи вам!

Материал подготовил , Сергей Валерьевич

Подкоренное выражение – это алгебраическое выражение, которое находится под знаком корня (квадратного, кубического или более высокого порядка). Иногда значения разных выражений могут быть одинаковыми, например, 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Упрощение подкоренного выражения призвано привести его к некоторой канонической форме записи. Если два выражения, которые записаны в канонической форме, по-прежнему различны, их значения не равны. В математике считается, что каноническая форма записи подкоренных выражений (а также выражений с корнями) соответствует следующим правилам:

• Если можно, избавьтесь от дроби под знаком корня
• Избавьтесь от выражения с дробным показателем
• Если можно, избавьтесь от корней в знаменателе
• Избавьтесь от операции умножения корня на корень
• Под знаком корня нужно оставить только те члены, из которых нельзя извлечь целочисленный корень

Эти правила можно применить к выполнению тестовых заданий. Например, если вы решили задачу, но результат не совпадает ни с одним из приведенных ответов, запишите результат в канонической форме. Имейте в виду, что ответы к тестовым заданиям даются в канонической форме, поэтому если записать результат в той же форме, вы с легкостью определите правильный ответ. Если в задаче требуется «упростить ответ» или «упростить подкоренные выражения», необходимо записать результат в канонической форме. Более того, каноническая форма упрощает решение уравнений, хотя с некоторыми уравнениями легче справиться, если на время забыть о канонической форме записи.

Шаги

Избавление от полных квадратов и полных кубов

Избавление от выражения с дробным показателем

Преобразуйте выражение с дробным показателем в подкоренное выражение. Или, если нужно, преобразуйте подкоренное выражение в выражение с дробным показателем, но никогда не смешивайте такие выражения в одном уравнении, например, так: √5 + 5^(3/2). Допустим, вы решили работать с корнями; квадратный корень из n будем обозначать как √n, а кубический корень из n как куб√n.

Избавление от дробей под знаком корня

Согласно канонической форме записи корень из дроби нужно представить в виде деления корней из целых чисел.

Посмотрите на подкоренное выражение. Если оно представляет собой дробь, перейдите к следующему шагу.

Замените корень из дроби отношением двух корней согласно следующему тождеству: √(a/b) = √a/√b.

• Не пользуйтесь этим тождеством, если знаменатель отрицательный или включает переменную, которая может быть отрицательной. В этом случае сначала упростите дробь.

1. Упростите полные квадраты (если они есть). Например, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Избавление от операции умножения корней

Избавление от множителей, которые являются полными квадратами

Разложите подкоренное число на множители. Множители – это некоторые числа, при перемножении которых получается исходное число. Например, 5 и 4 являются двумя множителями числа 20. Если из подкоренного числа нельзя извлечь целочисленный корень, разложите такое число на возможные множители и найдите среди них полный квадрат.

• Например, запишите все множители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 является множителем 45 (9 х 5 = 45) и полным квадратом (9 = 3^2).

1. Вынесите за знак корня множитель, который является полным квадратом. 9 представляет собой полный квадрат, потому что 3 х 3 = 9. Избавьтесь от 9 под знаком корня и запишите 3 перед знаком корня; под знаком корня останется 5. Если вы внесете число 3 под знак корня, оно будет умножено на себя и на число 5, то есть 3 х 3 х 5 = 9 х 5 = 45. Таким образом, 3√ 5 – это упрощенная форма записи √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Найдите полный квадрат в подкоренном выражении с переменной. Запомните: √(a^2) = |а|. Такое выражение можно упростить до «а», но только если переменная принимает положительные значения. √(a^3) можно разложить на √а * √(а^2), потому что при перемножении одинаковых переменных их показатели складываются (а * а^2 = а^3).

   • Таким образом, в выражении а^3 полным квадратом является а^2.

3. Вынесите за знак корня переменную, которая является полным квадратом. Избавьтесь от a^2 под знаком корня и запишите «а» перед знаком корня. Таким образом, √(а^3) = а√а.

   Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.

Избавление от корней в знаменателе (рационализация знаменателя)

1. Согласно канонической форме знаменатель , если возможно, должен включать только целые числа (или многочлен в случае присутствия переменной).

   • Если знаменатель представляет собой одночлен под знаком корня, например, [числитель]/√5, умножьте числитель и знаменатель на этот корень: ([числитель] * √5)/(√5 * √5) = ([числитель] * √5)/5.
     • В случае кубического корня или корня большей степени умножьте числитель и знаменатель на корень с подкоренным выражением в соответствующей степени, чтобы рационализировать знаменатель. Если, например, в знаменателе находится куб√5, умножьте числитель и знаменатель на куб√(5^2).
   • Если знаменатель является выражением в виде суммы или разности квадратных корней, таких как √2 + √6, умножьте числитель и знаменатель на сопряженное выражение, то есть выражение с обратным знаком между его членами. Например: [числитель]/(√2 + √6) = ([числитель] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Затем с помощью формулы разности квадратов ((а + b)(а - b) = а^2 - b^2) рационализируйте знаменатель: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2)^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • Формулу разности квадратов можно также применять к выражению вида 5 + √3, потому что любое целое число является квадратным корнем из другого целого числа. Например: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3)^2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • Этот метод можно применять к сумме квадратных корней, таких как √5 - √6 + √7. Если сгруппировать это выражение в виде (√5 - √6) + √7 и умножить его на (√5 - √6) - √7, вы не избавитесь от корней, а получите выражение вида а + b * √30, где «а» и «b» – одночлены без корня. Затем полученное выражение можно умножить на сопряженное: (а + b * √30)(а - b * √30), чтобы избавиться от корней. То есть если сопряженным выражением можно воспользоваться один раз, чтобы избавиться от некоторого количества корней, то им можно пользоваться сколько угодно раз, чтобы избавиться от всех корней.
     • Этот метод также применим к корням более высоких степеней, например, к выражению «корень 4-й степени из 3 плюс корень 7-й степени из 9». В этом случае умножьте числитель и знаменатель на выражение, сопряженное выражению в знаменателе. Но здесь сопряженное выражение будет немного другим по сравнению с теми, которые описаны выше. Про этот случай можно почитать в учебниках по алгебре.
2. К некоторым простым задачам описанные методы применить нельзя. В случае некоторых сложных задач эти методы нужно применить более одного раза. Шаг за шагом упрощайте полученные выражения, а затем проверьте, записан ли окончательный ответ в канонической форме, критерии которой приведены в самом начале данной статьи. Если ответ представлен в канонической форме, задача решена; в противном случае еще раз воспользуйтесь одним из описанных методов.
3. Как правило, каноническая форма записи распространяется и на комплексные числа (i = √(-1)). Даже если комплексное число записано в виде i, а не корня, лучше избавиться от i в знаменателе.
4. Некоторые из описанных здесь методов подразумевают работу с квадратными корнями. Общие принципы одинаковы для кубических корней или корней более высоких степеней, но к ним довольно сложно применить некоторые методы (в частности, метод рационализации знаменателя). Более того, поинтересуйтесь у преподавателя о правильной записи корней (куб√4 или куб√(2^2)).
5. В некоторых разделах этой статьи понятие «каноническая форма» используется не совсем правильно; на самом деле мы должны говорить о «стандартной форме» записи. Разница заключается в том, что каноническая форма требует записывать либо 1 + √2, либо √2 +1; стандартная форма подразумевает, что оба выражения (1 + √2 и √2 +1) несомненно равны, даже если записаны по-разному. Здесь под «несомненно» имеются в виду арифметические (сложение коммутативно), а не алгебраические свойства (√2 является неотрицательным корнем из х^2-2).
6. Если описанные методы кажутся неоднозначными или противоречат друг другу, выполните последовательные и однозначные математические действия, а ответ запишите так, как требует преподаватель или как принято в учебнике.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.