0 14 преобразование выражений содержащих квадратные корни. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения

Данная разработка содержит план урока и презентацию по теме "Преобразование выражений, содержащих квадратные корни". Цель данного урока обобщить и систематизировать изученный материал, проверить уровень усвоения темы на данном этапе. На уроке используются различные виды деятельности, проверка работы осуществляется на каждом этапе урока по-разному, что позволяет в конце урока каждому ученику получить объективнуюоценку своих знаний.

Просмотр содержимого документа
«Преобразование выражений, содержащих квадратные корни 8 кл. 23.11.17»

Учебный предмет : алгебра.

Класс : 8 В.

Учитель : Казанова Любовь Яковлевна

УМК : Алгебра : учебник для 8 кл общеобразоват. /[Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова и др.; под ред. Г.В.Дорофеева, Просвещение, 2005 -2012г

Тема урока:

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Тип урока: урок комбинированный.

Цель урока: обобщить и систематизировать теоретический материал, закрепить практические навыки по теме «Квадратные корни»,проверить уровень усвоения знаний и умений на данном этапе.

Задачи урока

Образовательные:

повторить и закрепить определение и свойства арифметического квадратного корня, правила вынесения множителя из-под знака корня и внесения множителя под знак корня;

закрепить умение выполнять действия с арифметическими квадратными корнями, используя теоретический материал.

Развивающие:

развивать познавательную активность, самостоятельность, сознательное восприятие учебного материала, вычислительные навыки.

Воспитательные:

воспитывать взаимопомощь в процессе выполнения парной работы, аккуратность в оформлении задач, интерес к математике;

формировать адекватную самооценку при выборе отметки на уроке, деловитость, внимательность, трудолюбие, способность к самовыражению.

Основной метод: словесно-наглядный.

Дидактические средства : карточки с заданиями

Оборудование: экран, проектор, компьютер, презентация, таблица со свойствами арифметического квадратного корня, карточки с заданиями, таблица квадратов натуральных чисел.

Структура урока

1. Организационный этап

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

3. Актуализация знаний

4. Обобщение и систематизация знаний

5. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция

6. Рефлексия (подведение итогов занятия)

7. Домашнее задание

1.Организационный этап (1мин)

Здравствуйте! Сегодня на нашем уроке присутствуют гости. Поприветствуем их.

Откройте тетради и запишите дату, прочтите эпиграф урока.

Какую тему на предыдущих уроках мы с вами изучали?

Что вы должны знать по этой теме?

II . Мотивация учебной деятельности обучающихся (3 мин)

Учитель вместе с обучающимися формулирует тему, цель и задачи урока. Обращает внимание обучающихся, как важно оперировать выражениями, содержащими квадратные корни не только в школьном курсе алгебры. Указывает, что изучаемая тема используется и в других областях знаний. Например, расчет скорости искусственного спутника земли, первой космической скорости, периода полураспада ядер радиоактивных веществ делается при помощи корня квадратного.

Подвести итог сегодняшнего урока поможет оценивание вашей работы на каждом этапе урока и расчёт окончательной отметки по итогам работы. Баллы может поставить сосед по парте, сам обучающийся; учитель, если обучающийся будет работать у доски или объяснять решение с места.. Бонусные баллы – за активность, за коррекцию ошибок, допущенных обучающимися. В конце урока будут сданы тетради учителю и после его проверки подведен итог и выставлена отметка за усвоение темы «Арифметический квадратный корень».

III . Актуализация знаний (6мин)

1)Повторение теоретического материала

1)- Как называют действие нахождения квадратного корня из числа?

Дайте определение арифметическому квадратному корню.

Назовите свойство квадратного корня из степени.

Прочитайте свойство квадратного корня из произведения.

Как извлечь корень квадратный из дроби?

2) Устная разминка ( ответ записать в тетрадь):

Проверка устной работы (передача тетрадей по часовой стрелке по рядам)

1) 0,9; 2) 8; 3) 60; 4) 18; 5) 5,6; 6) 4; 7) 27; 8) 5/3 ; 9) 7/4 ; 10) 4

IV . Обобщение и систематизация знаний

(Верно-неверно?)

(Сначала все работают самостоятельно, затем обсуждение и самопроверка )

Критерии оценки:

4-5 зад. – «4»

Взаимопроверка работы : Ученик называет ответы, все проверяют и оценивают работу соседа по парте

100; 2) 36; 3) 4/9 4) 9

Физкультминутка . Включается спокойная музыка. Ученики закрывают глаза и отдыхают.

3. Лаборатория эрудитов (Самостоятельная работа с самопроверкой)

(Можно решать не по порядку, выбирая уровень сложности для себя. Номер задания – номер соответствующей буквы в слове))

Самопроверка:

Критерии оценки:

7-8 зад.-«5»

5-6 зад. – «4»

VI . Итог урока. Рефлексия (3 мин)

Сообщение:

Вычисление своей оценки за урок

Подведение итогов занятия.

Озвучивание желающими своих оценок.

Что тебе дал этот урок?

Зачем он проводился?

Что ты ещё узнал?

В чём пока затрудняешься?

Сможешь ли объяснить товарищу, те задания, которые ты решил сам?

Твои впечатления, сомнения, пожелания по поводу происходящего на уроке.

Просмотр содержимого презентации
«Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»

Классная работа

Девиз урока:

«Дорогу

осилит идущий,

а математику - мыслящий».

• Закрепить навыки использования свойств арифметического квадратного корня для преобразования выражений, содержащих квадратные корни;
• Развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность;
• Выработать критерии оценки своей работы, умение анализировать проделанную работу и адекватно ее оценивать.

Преобразование выражений содержащих квадратные корни

Дома: п.2.7, № 369(б), 370(б), 371(б)

Сообщение:

История возникновения слова «радикал»

Лаборатория теоретиков

1)Вопрос-ответ.

2) Устная разминка

Лаборатория теоретиков

Устная разминка:

Лаборатория теоретиков

Проверка устной работы

• 1) 0,9; 2) 8; 3) 60; 4) 18; 5) 5,6;

• 6) 4; 7) 27; 8) ; 9) ; 10) 4

Верно-неверно???

Самопроверка

Верно

- неверно

Верно:

- неверно

Верно:

- неверно

Верно:

Верно

Верно

Лаборатория раскрытия тайн

Найдите неизвестный объект:

Критерии оценки:

3 зад. – «4»

2 зад. -«3»

Найдите неизвестный объект:

Раскрытие тайны:

Найдите неизвестный объект:

Раскрытие тайны:

Найдите неизвестный объект:

Раскрытие тайны:

Найдите неизвестный объект:

Раскрытие тайны:

• Критерии оценки:
• 4 зад.-«5»
• 3 зад. – «4»
• 2 зад. -«3»

Слово - загадка

Разгадка: АЛДЖАБРА

Слово алгебра произошло от слова ал-джабра, взятого из названия книги узбекского математика, астронома и географа Мухаммеда Ал-Хорезми «Краткая книга об исчислениях ал- джабры».

Арабское слово аль-джабер переводчик не стал переводить, а записал его латинскими буквами algebr . Так возникло название науки, которую мы изучаем.

Добрую сказку помню я с детства, Хочу, чтобы сказку послушал и ты, Пусть подкрадётся к самому сердцу И зародится в нём зерно доброты.

В математике есть нечто, вызывающее человеческий восторг. Ф. Хаусдорф

Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой

Позднее вместо точки стали ставить ромбик

Затем  5 .

Затем знак  и черту стали соединять.

Историческая справка

Рене Декарт

Повторение

I . Арифметическим квадратным корнем из числа а называется…

1. Число, квадрат которого равен а

2. Число, равное а

3. Неотрицательное число, квадрат которого равен а

Повторение

Повторение

Повторение

IV. Чтобы внести множитель под знак корня, надо:

1. Перемножить подкоренные выражения

2. Возвести множитель в квадрат

3. Квадрат множителя записать под корень

Повторение

V. Чтобы вынести множитель за знак корня, надо

1 . Представить подкоренное выражение в виде произведения нескольких множителей, один из которых является квадратом натурального числа.

2. Применить правило квадратный корень из произведения неотрицательных множителей

«Получи рисунок!»

Преобразование

выражений, содержащих квадратные корни

Преобразование -

замена одного математического объекта аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам.

Преобразовать -

совершенно переделать, превратить из одного вида в другой, изменить к лучшему.

Цель математических преобразований – приведения выражения к виду более удобному для численных расчетов или дальнейших преобразований

Правильный ответ

Кто быстрее поднимется по лестнице?

Вынести множители из-под знака корня

Представить подкоренные выражения в виде произведения нескольких множителей, один из которых является квадратом натурального числа

привести подобные члены

Вариант 1

Вариант 2

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5.

Проверка.

Вариант 1

Вариант 2

Творческое задание

1. Каждое из чисел и можно использовать по нескольку раз. Запишите такое произведение, чтобы его значение было равно:

Играют парами

• Первый записывает число вида а√в, где а и в –натуральные числа, меньшие 15, например 7√10. Второй должен записать число вида в √а, т.е. 10√7. Потом числа сравниваются. Побеждает тот, у кого число оказалось больше. Потом первым записывает число другой партнер и т.д.

Домашнее задание:

п. 19, № 421 (а, в), № 422 (а, в),

на повторение формул сокращенного умножения № 440.

Для любознательных

1. Используя шесть раз число и знаки действий, получите число 6.

2. Используя числа и по два раза, получите число 2.

Рефлексия

Критерий

Оценка деятельности

На уроке я работал

активно/пассивно

Своей работой на уроке я

доволен/ не доволен

Урок для меня показался

коротким/ длинным

За урок я

не устал/ устал

На уроке мне

комфортно/ некомфортно

Домашнее задание мне кажется

легким/трудным

Больше всего мне понравилось на уроке

Цели урока:

1. Повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня.
2. Обобщить и систематизировать знания учащихся по этой теме.
3. Закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни.
4. Дать возможность каждому ученику как можно более полно раскрыть свои возможности.
5. Расширять кругозор и познакомить учащихся с математиками средних веков.

Тип урока: урок-практикум.

Оборудование урока: раздаточный материал, цветной мел, графопроектор, портрет Рене Декарта, плакаты с формулами.

Ход урока

I. Организационный момент.

Тема нашего урока «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». Сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Это и преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

II. Устный опрос по теории.

• Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).
• Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).
• Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х | ).
• Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? х<0? (х. –х ).

III. Устная работа. (Записано на доске).

IV. Отработка знаний по данной теме. (На партах у каждого листок с заданиями ).

1. Выполните действия.

• Как будем решать примеры а и б? (Раскроим скобки, приведём подобные слагаемые ).
• Как будем решать примеры в и г? (Применим формулу разности квадратов ).
• Как будем решать примеры д и е? (Вынесем множитель за знак корня и приведём подобные слагаемые ).

(Ученики по вариантам выполняют примеры в тетрадях, 6 учеников по 1 примеру решают у задней доски ).

– Проверка через графопроектор. Каждому ответу соответствует определённая буква. В результате получаются слово: Декарт.

V. Историческая справка.

Ученик выступает с небольшим сообщением.

В 1626 году нидерландский математик А.Ширар ввел близкое к современному обозначение корня V. Если над этим знаком стояла цифра 2, то это означало корень квадратный, если 3 – кубический. Это обозначение стало вытеснять знак Rx. Однако долгое время писали Vа+в с горизонтальной чертой над суммой. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня . Этот знак вошёл во всеобщее употребление лишь в начале XVIII века. (На доске – портрет Рене Декарта, рисунок ).

VI. Отработка знаний по теме.

2. Разложите на множители.

а и б – разложим по формуле разности квадратов, в и г – используя определение арифметического квадратного корня, заменим 7 и 13 квадратами из квадратных корней, а потом вынесем за скобки общий множитель ).

Ученики решают в тетрадях по вариантам, 2 человека (по одному от каждого варианта) решают у доски.

– Проверка.

3. Сократите дробь.

– Как будем выполнять это задание? (Разложим на множители или числитель, или знаменатель, а потом сократим ).

Урок алгебры в 8 классе

Тема : Обобщающий урок.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Учитель математики : Байтурова А.Р. ш кола-гимназия №31, г.Астана

2012-2013 учебный год

Цель: повторение понятия квадратного корня, его свойств; развитие умения упрощать выражения, вычислять квадратные корни.

Задачи:

закрепить ранее приобретенные знания, умения и навыки учащихся по изучаемой теме;

закрепить навыки преобразования выражений, содержащие квадратные корни;

способствовать формированию самостоятельного выбора способа решения.

Тип урока: Совершенствование ЗУН учащихся

Методы работы:

Деятельный (процесс познания идет от учеников),

Наглядно – демонстративный,

Частично – поисковый (учим детей наблюдать, анализировать, сравнивать, делать выводы и обобщения под руководством учителя),

Практический

Формы работы : общеклассная, индивидуальная..

Оборудование: интерактивная доска, слайды в PowerPoint., оценочные листы, карточки с тестом, карточки с домашним заданием.

Инновационные технологии:

Компьютерного обучения,

Деятельностного подхода в обучении (познание идет от ученика),

Словесно – продуктивной (на этапе рефлексия),

Личностно – ориентированного обучения (каждый ребенок сможет ответить).

Ход урока.

I. Организационный момент

- Hello , sit down (Здравствуйте, садитесь). Look at the topic of our lesson and tell that it would mean (Посмотритенатемунашегоурокаискажи, чтобыэтозначило).

Правильно, сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни, преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. The estimated page will help to sum up a today"s lesson (Подвестиитогисегодняшнегоурокапоможетоценочныйлист).

Sign the sheets of paper and answer the first question "Mood at the beginning of a lesson", having chosen one of smilies.(Подпишитесвоилистыиответьтенапервыйвопрос « Настроениевначалеурока», выбраводинизсмайликов).

II. Сообщение темы урока

Topic of our lesson (Тема нашего урока) «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». (Слайд №1)

В математике есть нечто,

вызывающее человеческий восторг. Ф. Хаусдорф (Слайд №2)

III. Oral work (Устная работа)

1) Frontal poll (Фронтальный опрос). (Слайд №3)

1.Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а).

2.Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя).

3.Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х|).

4.Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? х<0? (х. –х).

2) Oral account ( Устный счёт ) (Слайд №4)

Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

"Устный счёт!" Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Цифры сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица.

Потому что считаем в уме!

(Слайд №5-8)

1. Вынесите множитель из-под знака корня: ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8)

2. Внесите множитель под знак корня: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8)

3. Square (Возведите в квадрат) : 2, 6, 7, 9, 11, 13,15, 18, 22, 25

4. Приведите подобные слагаемые:

IV. Работа по теме урока

1) Individual work (Индивидуальная работа) (Слайд №9)

The green correspond to tasks of a basic level, yellow – to tasks of the raised level, red – to tasks of high level. (Зеленые соответствуют заданиям базового уровня, желтые – заданиям повышенного уровня, красные – заданиям высокого уровня). Учащиеся выбирают задание на свое усмотрение. Трое учащихся, получив задание, решают его в тетрадях

уровень

Вынесите множитель из-под знака корня:
1)
2)
3)

Внесите множитель под знак корня:
1)
; 2)
; 3)
;

Сравните числа:
1) и ; 2) и ;

уровень

Упростите выражение:
1) ; 2) ; 3)

Найдите сумму:
1)
2)

1) ; 2)

3- уровень

Упростите выражение:
1) ; 2) .
Преобразуйте выражение:
1) ; 2) ;

Раскройте скобки и упростите выражение:
1) ;

2) ; 3) ;

2) Work with an interactive board (Работа с интерактивной доской). (Слайд №10-13)

Остальные обучающиеся решают следующие задания:

1. Найдите значение выражения:
1)
2)

3)

2. Преобразуйте выражение:
1)
; 2)
; 3)
.

3. Упростите выражение:
1)
; 2)
; 3)
.

4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
.

VI. Historical information ( Историческая справка ) (Слайд 14-26)

Radix- имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)»

Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»).

Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5

Позднее вместо точки стали ставить ромбик 5

Затем Ú 5 . Затем знак Ú и черту стали соединять.

VI. Test ( Тест )

Английский философ Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы». (Слайд №27)

At this stage of a lesson it is necessary to apply the knowledge to the solution of exercises during implementation of the test. (На этом этапе урока необходимо применить свои знания к решению упражнений в ходе выполнения теста).

VII. Mutual testing ( Взаимопроверка ) (Слайд №28)

Код правильных ответов: I вариант – 3124111, II вариант - 2131222

VIII. Homework (Домашнее задание). (Слайд №29)

Какое число меньше
или
?

B 2. Упростите выражение:
,

при
.

B 3. Выполнить действия:
.

Подробные и обоснованные решения заданий этой части напишите аккуратно и разборчиво на листе.

С 1. Сократите дробь:
.

С 2. Извлечь квадратный корень из выражения:
.

VIII. Итог урока

Заполните до конца оценочный лист. Marks for a lesson (Оценкизаурок).

Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской. (Слайд №30)

Если в жизни ты хоть на мгновенье

Истину в сердце своем ощутил,

Если луч света сквозь мрак и сомненье

Ярким сияньем твой путь озарил:

Что бы в решенье твоем неизменном

Рок ни назначил тебе впереди,

Память об этом мгновенье священном

Вечно храни, как святыню в груди.

Тучи сберутся громадой нестройной,

Небо покроется черною мглой,

С ясной решимостью, с верой спокойной

Бурю ты встреть и померься с грозой.

В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути.

The lesson is ended. Thanks for a lesson! (Урококончен. Спасибо за урок!) (Слайд №31)

Приложение

ЛИСТ-ОПРОСНИК

Ф.И. ученика____________________________

1. Настроение в начале урока: а) в)

2. Мое восприятие темы урока:

а) усвоил(а) все; б) усвоил(а) почти все; в) усвоил(а) частично, нуждаюсь в помощи.

3. Количество неправильных ответов теста: _________

4. Я работал(а) на уроке:

а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) неудовлетворительно.

5. Я оцениваю свою работу на ______ (поставьте оценку)

6. Я оцениваю урок на _____ (поставьте оценку)

7. Настроение в конце урока:

а) б) в)

Тест 1 вариант

A 1. Вычислите
.

1) 7; 2)
; 3) 5; 4)
.

А 2. Вычислите
.

1) 7; 2)
; 3)
; 4) 4.

Добрый день!

Всех гостей приветствуют учитель I категории

Гирина Ирина Валерьевна

и обучающиеся 8 класса

ОУ «Луговская школа»!

Философия Фалеса Милетского

Что легко?

Что трудно?

Кто счастлив?

Давать советы другим

Познать самого себя

Тот, кто здоров телом, одарен спокойствием духа и развивает свои дарования

Упростите выражения:

Сравните выражения:

15.02.17. Классная работа

Тождественные преобразования выражений, содержащих

квадратные корни.

Цель: изучение…

способов тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни

1. Определить способы;

2. Сформулировать правила;

3. Составить алгоритм;

4. Научиться применять алгоритм для преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Вынесение множителя из-под знака корня

Внесение множителя под знак корня

Вынесение множителя из-под знака корня

Внесение множителя под знак корня

Для вынесения множителя из-под знака корня, надо подкоренное выражение разложить на множители так, чтобы один из них являлся полным квадратом

Для внесения множителя под знак корня, надо множитель возвести в квадрат; произведение квадрата множителя и подкоренного выражения записать под знак корня

3. Применить данный способ для выполнения задания.

Выводы: изучили…

способы тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни

Для этого мы решили следующие задачи:

1. Определили способы;

2. Сформулировали правило;

3. Составили алгоритм;

4. Научились применять алгоритм для тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни

Рефлексия

Результатом нашего урока

будет то, что мы

правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня

ПРИМЕНЯТЬ правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня

Выполните тест

«Диагностика уровня математических способностей»

Итог урока и домашнее задание

Закрепить знание правил.

По № 524 - № 528 составить тест

из 10 вопросов с 4 вариантами ответов.