Фалес теорема. Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка

Пусть f {\displaystyle f} - проективное соответствие между точками прямой l {\displaystyle l} и прямой m {\displaystyle m} . Тогда множество прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет множеством касательных к некоторому

Пусть f {\displaystyle f} - проективное соответствие между точками прямой l {\displaystyle l} и прямой m {\displaystyle m} . Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

Пусть f {\displaystyle f} - проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет коника (возможно, вырожденная).

Теорема 6.6 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. 131).

Доказательство. Пусть А 1 , А 2 , А 3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и А 2 лежит между А 1 и А 3 (рис. 131). Пусть В 1 , В 2 , В 3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А 1 А 2 = А 2 Аз, то В 1 В 2 =В 2 В 3 .

Проведем через точку В 2 прямую EF, параллельную прямой A 1 A 3 . По свойству параллелограмма A 1 A 2 =FB 2 , А 2 А 3 = B 2 E. И так как А 1 А 2 =А 2 А 3 , то FВ 2 =В 2 Е.

Треугольники B 2 B 1 F и В 2 В 3 Е равны по второму признаку. У них B 2 F=B 2 E по доказанному. Углы при вершине В 2 равны как вертикальные, а углы B 2 FB 1 и В 2 ЕВ 3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных A 1 B 1 и А 3 В 3 и секущей EF.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: В 1 В 2 =В 2 В 3 . Теорема доказана.

Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же:

параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Иногда теорема Фалеса будет применяться и в такой форме.

Задача (48). Разделите данный отрезок АВ на п равных частей.

Решение. Проведем из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ (рис. 132). Отложим на полупрямой а равные отрезки: АА 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 , .... А n - 1 А n . Соединим точки A n и В. Проведем через точки А 1 , А 2 , .... А n -1 прямые, параллельные прямой А n В. Они пересекают отрезок АВ в точках В 1 , B 2 , В n-1 , которые делят отрезок АВ на п равных отрезков (по теореме Фалеса).

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Эта гробница мала, но слава над ней необъятна.
В ней перед тобою сокрыт многоразумный Фалес.

Надпись на гробнице Фалеса Милетского

Представьте себе такую картину. 600 г. до н.э. Египет. Перед вами огромнейшая египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах вам нужно измерить высоту этой пирамиды. В распоряжении у вас… ничего. Можно пасть в отчаяние, а можно поступить, как Фалес Милетский : использовать теорему подобия треугольников. Да, оказывается, все достаточно просто. Фалес Милетский подождал пока длина его тени и его рост совпадут, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой.

Кто же такой этот Фалес Милетский ? Человек, который обрел славу одного из «семи мудрецов» древности? Фалес Милетский – древнегреческий философ, который отличился успехами в области астрономии, а также математики и физики. Годы его жизни были установлены только приблизительно: 625-645 гг до н.э.

Среди доказательств знания Фалесом астрономии можно привести следующий пример. 28 мая 585 г до н.э. предсказание Милетским солнечного затмения помогло прекратить длившуюся уже 6 лет войну между Лидией и Мидией. Это явление настолько испугало мидян, что они согласились на невыгодные для себя условия заключения мира с лидийцами.

Довольно широко известна легенда, которая характеризует Фалеса как находчивого человека. Фалесу часто приходилось слышать нелестные отзывы о его бедности. Однажды он решил доказать то, что и философы могут при желании жить в достатке. Еще зимой Фалес по наблюдению за звездами определил, что летом будет хороший урожай маслин. Тогда же он нанял маслодавильни в Милете и на Хиосе. Это обошлось ему довольно дешево, так как зимой спрос на них практически отсутствует. Когда же маслины дали богатый урожай, свои маслодавильни Фалес начал сдавать внаем. Собранное большое количество денег таким методом расценивалось как доказательство того, что философы могут зарабатывать своим умом, но их призвание выше таких земных проблем. Эта легенда, кстати, повторялась самим Аристотелем.

Что же касается геометрии, то многое из его «открытий» было позаимствовано у египтян. И все же этот перенос знаний в Грецию считается одной из основных заслуг Фалеса Милетского.

Достижениями Фалеса считаются формулировка и доказательство следующих теорем:

• вертикальные углы равны;
• равными треугольниками признаются те, у которых сторона и два прилегающих угла соответственно равны;
• углы при основании равнобедренного треугольника равны;
• диаметр делит круг пополам;
• вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Именем Фалеса названа еще одна теорема, которая полезна при решении геометрических задач. Существует ее обобщенный и частный вид, обратная теорема, формулировки также могут немного отличаться в зависимости от источника, но смысл их всех остается одним. Рассмотрим эту теорему.

Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Допустим, точки А 1 , А 2 , А 3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, а В 1 , В 2 , В 3 – точки пересечения параллельных прямых с другой стороной угла. Необходимо доказать, что если А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и В 1 В 2 = В 2 В 3 .

Через точку В 2 проведем прямую, параллельную прямой А 1 А 2 . Обозначим новую прямую С 1 С 2 . Рассмотрим параллелограммы A 1 C 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 C 2 A 3 .

Свойства параллелограмма позволяют нам утверждать, что A1A2 = C 1 B 2 и A 2 A 3 = B 2 C 2 . А так как по нашему условию А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и C 1 B 2 = В 2 С 2 .

И, наконец, рассмотрим треугольники Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (доказано выше).

А это значит, что Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 будут равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим углам).