Что если сложить отрицательные числа. Сложение отрицательных чисел: правило, примеры

В рамках этого материала мы затронем такую важную тему, как сложение отрицательных чисел. В первом параграфе мы расскажем основное правило для этого действия, а во втором – разберем конкретные примеры решения подобных задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основное правило сложения натуральных чисел

Перед тем, как вывести правило, вспомним, что мы вообще знаем о положительных и отрицательных числах. Ранее мы условились, что отрицательные числа нужно воспринимать как долг, убыток. Модуль отрицательного числа выражает точные размеры этого убытка. Тогда сложение отрицательных чисел можно представить как сложение двух убытков.

Воспользовавшись этим рассуждением, сформулируем основное правило сложения отрицательных чисел.

Определение 1

Для того чтобы выполнить сложение отрицательных чисел , нужно сложить значения их модулей и поставить минус перед полученным результатом. В буквенном виде формула выглядит как (− a) + (− b) = − (a + b) .

Исходя из этого правила, можно сделать вывод, что сложение отрицательных чисел аналогично сложению положительных, только в итоге у нас обязательно должно получиться отрицательное число, ведь перед суммой модулей надо ставить знак минус.

Какие можно привести доказательства этого правила? Для этого нам потребуется вспомнить основные свойства действий с действительными числами (или с целыми, или с рациональными –они одинаковы для всех этих типов чисел). Для доказательства нам нужно всего лишь продемонстрировать, что разность левой и правой части равенства (− a) + (− b) = − (a + b) будет равна 0 .

Вычесть одно число из другого – это то же самое, что и прибавить к нему такое же противоположное число. Следовательно, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Вспомним, что числовые выражения со сложением обладают двумя основными свойствами – сочетательным и переместительным. Тогда мы можем сделать вывод, что (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Поскольку, сложив противоположные числа, мы всегда получаем 0 , то (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 , а 0 + 0 = 0 .Наше равенство можно считать доказанным, значит, и правило сложения отрицательных чисел мы тоже доказали.

Во втором параграфе мы возьмем конкретные задачи, где нужно складывать отрицательные числа, и попробуем применить в них изученное правило.

Пример 1

Найдите сумму двух отрицательных чисел - 304 и - 18 007 .

Решение

Выполним действия пошагово. Сначала нам надо найти модули складываемых чисел: - 304 = 304 , - 180007 = 180007 . Далее нам нужно выполнить действие сложения, для чего мы используем метод подсчета столбиком:

Все, что нам осталось, – это поставить минус перед результатом и получить - 18 311 .

Ответ: - - 18 311 .

От того, какие у нас числа, зависит, к чему мы можем свести действие сложения: к нахождению суммы натуральных чисел, к сложению обыкновенных или десятичных дробей. Разберем задачу с такими числами.

Пример N

Найдите сумму двух отрицательных чисел - 2 5 и − 4 , (12) .

Решение

Находим модули искомых чисел и получаем 2 5 и 4 , (12) . У нас получились две разные дроби. Сведем задачу к сложению двух обыкновенных дробей, для чего представим периодическую дробь в виде обыкновенной:

4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

В итоге мы получили дробь, которую будет легко сложить с первым исходным слагаемым (если вы забыли, как правильно складывать дроби с разными знаменателями, повторите соответствующий материал).

2 5 + 136 33 = 2 · 33 5 · 33 + 136 · 5 33 · 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

В итоге мы получили смешанное число, перед которым нам осталось только поставить минус. На этом расчеты завершены.

Ответ: - 4 86 105 .

Действительные отрицательные числа складываются аналогичным образом. Результат такого действия принято записывать числовым выражением. Его значение можно и не вычислять или ограничиться примерными расчетами. Так, к примеру, если нам надо найти сумму - 3 + (− 5) , то ответ мы записываем как - 3 − 5 . Сложению действительных чисел мы посвятили отдельный материал, в котором можно найти и другие примеры.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Начнем с простого примера. Определим, чему равно выражение 2-5. От точки +2 отложим вниз пять делений, два до нуля и три ниже нуля. Остановимся на точке -3. То есть 2-5=-3. А теперь обратите внимание, что 2-5 совсем не равно 5-2. Если в случае сложения чисел их порядок не имеет значения, то в случае вычитания все обстоит по-другому. Порядок чисел имеет значение .

Теперь перейдем в отрицательную область шкалы. Предположим, надо к -2 прибавить +5. (С этого момента мы будем ставить знаки «+» перед положительными числами и заключать в скобки как положительные, так и отрицательные числа, чтобы не путать знаки перед числами со знаками сложения и вычитания.) Теперь нашу задачу можно записать как (-2)+(+5). Чтобы ее решить, от точки -2 вверх поднимемся на пять делений и окажемся на точке +3.

Есть ли в этой задаче какой-то практический смысл? Конечно есть. Предположим, у вас есть долг 2 доллара, а вы заработали 5 долларов. Таким образом, после того, как вы отдадите долг, у вас останется 3 доллара.

Можно также двигаться вниз по отри­цательной области шкалы. Предположим, нужно из -2 вычесть 5, или (-2)-(+5). От точки -2 на шкале отложим вниз пять делений и окажемся в точке -7. Какой практический смысл у этой задачи? Предположим, у вас был долг 2 доллара и вам пришлось занять еще 5. Теперь ваш долг равен 7 долларам.

Мы видим, что с отрицательными чис­лами можно проводить такие же операции сложения и вычитания , как и с положительными.

Правда, мы еще освоили не все операции. К отрицательным числам мы прибавляли только и вычитали из отрицательных чисел только положительные. А как действовать, если надо складывать отрицательные числа или из отрицательных чисел вычитать отрицательные?

На практике это похоже на операции с долгами. Предположим, с вас списали долг 5 долларов, это означает то же самое, как если бы вы получили 5 долларов. С другой стороны, если я каким-то образом заставлю вас принять ответственность за чей- то долг в 5 долларов, это то же самое, что забрать у вас эти 5 долларов. То есть вычесть -5 – это то же самое, что прибавить +5. А прибавить -5 – это то же самое, что вычесть +5.

Это позволяет нам избавиться от операции вычитания. Действительно, «5-2» – это то же самое, что (+5)-(+2) или согласно нашему правилу (+5)+(-2). И в том и в другом случае мы получаем один и тот же результат. От точки +5 на шкале нам нужно спуститься вниз на два деления, и мы получим +3. В случае 5-2 это очевидно, ведь вычитание – это движение вниз.

В случае (+5)+(-2) это менее очевидно. Мы прибавляем число, а это означает движение вверх по шкале, но мы прибавляем отрицательное число, то есть совершаем обратное действие, и эти два фактора, взятые вместе, означают, что нам надо двигаться не вверх по шкале, а в обратном направлении, то есть вниз.

Таким образом, мы опять получаем ответ +3.

Почему, собственно, нужно заменять вычитание сложением ? Зачем двигаться вверх «в обратном смысле»? Не проще ли просто двигаться вниз? Причина заключается в том, что в случае сложения порядок слагаемых не имеет значения, в то же время в случае вычитания он очень важен.

Мы уже выяснили раньше, что (+5)-(+2) — это совсем не то же самое, что (+2)-(+5). В первом случае ответ +3, а во втором -3. С другой стороны, (-2)+(+5) и (+5)+(-2) в результате дают +3. Таким образом, переходя на сложение и отказываясь от операций вычитания, мы можем избежать случайных ошибок, связанных с перестановкой слагаемых.

Аналогично можно действовать при вычитании отрицательного . (+5)-(-2) – это то же самое, что (+5)+(+2). И в том и в другом случае мы получаем ответ +7. Мы начинаем с точки +5 и двигаемся «вниз в обратном направлении», то есть вверх. Точно так же мы бы действовали, решая выражение (+5)+(+2).

Замену вычитания сложением ученики активно используют, когда начинают изучать алгебру, и поэтому эта операция называется «алгебраическим сложением» . На самом деле это не совсем справедливо, поскольку такая операция, очевидно, является арифметической, а совсем не алгебраической.

Данные знание неизменны для всех, так что даже если вы будете получать образование в Австрии через www.salls.ru , хотя обучение за границей ценится выше, но и там вы сможете применить данные правила.

В этой статье мы поговорим про сложение отрицательных чисел . Сначала дадим правило сложения отрицательных чисел и докажем его. После этого разберем характерные примеры сложения отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Прежде чем дать формулировку правила сложения отрицательных чисел, обратимся к материалу статьи положительные и отрицательные числа. Там мы упоминали, что отрицательные числа можно воспринимать как долг, а модуль числа в этом случае определяет величину этого долга. Следовательно, сложение двух отрицательных чисел – это есть сложение двух долгов.

Этот вывод позволяет осознать правило сложения отрицательных чисел . Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:

• сложить их модули;
• поставить перед полученной суммой знак минус.

Запишем правило сложения отрицательных чисел −a и −b в буквенном виде: (−a)+(−b)=−(a+b) .

Понятно, что озвученное правило сводит сложение отрицательных чисел к сложению положительных чисел (модуль отрицательного числа является числом положительным). Также понятно, что результатом сложения двух отрицательных чисел является отрицательное число, о чем свидетельствует знак минус, который ставится перед суммой модулей.

Правило сложения отрицательных чисел можно доказать, основываясь на свойствах действий с действительными числами (или таких же свойствах действий с рациональными или целыми числами). Для этого достаточно показать, что разность левой и правой частей равенства (−a)+(−b)=−(a+b) равна нулю.

Так как вычитание числа – это все равно, что прибавление противоположного числа (смотрите правило вычитания целых чисел), то (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b) . В силу переместительного и сочетательного свойств сложения имеем (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Так как сумма противоположных чисел равна нулю, то (−a+a)+(−b+b)=0+0 , а 0+0=0 в силу свойства сложения числа с нулем. Этим доказано равенство (−a)+(−b)=−(a+b) , а значит, и правило сложения отрицательных чисел.

Таким образом, данное правило сложения применимо как к отрицательным целым числам, так и к рациональным числам, а также к действительным числам.

Осталось лишь научиться применять правило сложения отрицательных чисел на практике, что мы и сделаем в следующем пункте.

Примеры сложения отрицательных чисел

Разберем примеры сложения отрицательных чисел . Начнем с самого простого случая – сложения отрицательных целых чисел, сложение будем проводить по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте.

Выполните сложение отрицательных чисел −304 и −18 007 .

Выполним все шаги правила сложения отрицательных чисел.

Сначала находим модули складываемых чисел: и . Теперь нужно сложить полученные числа, здесь удобно выполнить сложение столбиком:

Теперь ставим знак минус перед полученным числом, в результате имеем −18 311 .

Запишем все решение в краткой форме: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .

Сложение отрицательных рациональных чисел в зависимости от самих чисел можно свести либо к сложению натуральных чисел, либо к сложению обыкновенных дробей, либо к сложению десятичных дробей.

Сложите отрицательное число и отрицательное число −4,(12) .

По правилу сложения отрицательных чисел сначала нужно вычислить сумму модулей. Модули складываемых отрицательных чисел равны соответственно 2/5 и 4,(12) . Сложение полученных чисел можно свести к сложению обыкновенных дробей. Для этого переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: . Таким образом, 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Теперь выполним сложение дробей с разными знаменателями: .

Осталось поставить перед полученным числом знак минус: . На этом сложение исходных отрицательных чисел завершено.

По этому же правилу сложения отрицательных чисел складываются и отрицательные действительные числа. Здесь стоит отметить, что результат сложения действительных чисел очень часто записывается в виде числового выражения, а значение этого выражение вычисляется приближенно, и то при необходимости.

Для примера найдем сумму отрицательных чисел и −5 . Модули этих чисел равны квадратному корню из трех и пяти соответственно, а сумма исходных чисел равна . В таком виде и записывается ответ. Другие примеры можно посмотреть в статье сложение действительных чисел .

www.cleverstudents.ru

Правило как сложить два отрицательных числа

Действия с отрицательными и положительными числами

Абсолютная величина (модуль). Сложение.

Вычитание. Умножение. Деление.

Абсолютная величина (модуль). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

П р и м е р ы: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.

1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются

их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.

2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные

величины вычитаются (из большей меньшая) и ставится знак

числа с большей абсолютной величиной.

Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.

(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;

(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;

(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;

(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;

Умножение. При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.

Полезна следующая схема (правила знаков при умножении ):

При умножении нескольких чисел (двух и более) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.

Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.

Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении :

Сложение отрицательных чисел

Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси.

Сложение чисел с помощью координатной прямой

Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на координатной прямой, мысленно представляя себе как точка, обозначающая число передвигается по числовой оси.

Возьмём какое-нибудь число, например, 3 . Обозначим его на числовой оси точкой « A ».

Прибавим к числу положительное число 2 . Это будет означать, что точку « A » надо переместить на два единичных отрезка в положительном направлении, то есть вправо. В результате мы получим точку « B » с координатой 5 .

Для того чтобы к положительному числу, например, к 3 прибавить отрицательное число « −5 », точку « A » надо переместить на 5 единиц длины в отрицательном направлении, то есть влево.

В этом случае координата точки « B » равна - « 2 ».

Итак, порядок сложения рациональных чисел с помощью числовой оси будет следующим:

Двигаясь от точки - 2 влево (так как перед 6 стоит знак минус), получим - 8 .

Сложение чисел с одинаковыми знаками

Складывать рациональные числа можно проще, если использовать понятие модуля.

Пускай нам нужно сложить числа, которые имеют одинаковые знаки.

Для этого, отбрасываем знаки чисел и берём модули этих чисел. Сложим модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.

Пример сложения отрицательных чисел.

Чтобы сложить числа одного знака надо сложить их модули и поставить перед суммой знак, который был перед слагаемыми.

Сложение чисел с разными знаками

Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.

Пример сложения отрицательного и положительного числа .

Пример сложения смешанных чисел.

Чтобы сложить числа разного знака надо:

• из бóльшего модуля вычесть меньший модуль;
• перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Правило сложения отрицательных чисел

Для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

• выполнить сложение их модулей;
• дописать к полученной сумме знак «–».

Согласно правилу сложения можно записать:

Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Выполним сложение полученных чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 974$.

Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Сложить отрицательные числа $-\frac $ и $−7,15$.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел сначала необходимо найти сумму модулей:

Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

Краткая запись решения:

Сложение чисел с противоположными знаками

Правило сложения чисел с противоположными знаками:

• вычислить модули чисел;
• выполнить сравнение полученных чисел:

если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;

если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;

• из большего модуля вычесть меньший;
• перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.

Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

Сложить числа $4$ и $−8$.

Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

Найдем модули данных чисел:

Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

Вычитание отрицательных чисел

Правило вычитания отрицательных чисел:

Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

Согласно правилу вычитания можно записать:

Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.

Вычитание чисел с противоположными знаками

Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.

Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.

Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.

Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:

Выполним сложение отрицательных чисел:

При вычитании дробных чисел с противоположными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Сложение отрицательных чисел: правило, примеры

В рамках этого материала мы затронем такую важную тему, как сложение отрицательных чисел. В первом параграфе мы расскажем основное правило для этого действия, а во втором – разберем конкретные примеры решения подобных задач.

Основное правило сложения натуральных чисел

Перед тем, как вывести правило, вспомним, что мы вообще знаем о положительных и отрицательных числах. Ранее мы условились, что отрицательные числа нужно воспринимать как долг, убыток. Модуль отрицательного числа выражает точные размеры этого убытка. Тогда сложение отрицательных чисел можно представить как сложение двух убытков.

Воспользовавшись этим рассуждением, сформулируем основное правило сложения отрицательных чисел.

Для того чтобы выполнить сложение отрицательных чисел , нужно сложить значения их модулей и поставить минус перед полученным результатом. В буквенном виде формула выглядит как (− a) + (− b) = − (a + b) .

Исходя из этого правила, можно сделать вывод, что сложение отрицательных чисел аналогично сложению положительных, только в итоге у нас обязательно должно получиться отрицательное число, ведь перед суммой модулей надо ставить знак минус.

Какие можно привести доказательства этого правила? Для этого нам потребуется вспомнить основные свойства действий с действительными числами (или с целыми, или с рациональными –они одинаковы для всех этих типов чисел). Для доказательства нам нужно всего лишь продемонстрировать, что разность левой и правой части равенства (− a) + (− b) = − (a + b) будет равна 0 .

Вычесть одно число из другого – это то же самое, что и прибавить к нему такое же противоположное число. Следовательно, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Вспомним, что числовые выражения со сложением обладают двумя основными свойствами – сочетательным и переместительным. Тогда мы можем сделать вывод, что (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Поскольку, сложив противоположные числа, мы всегда получаем 0 , то (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 , а 0 + 0 = 0 .Наше равенство можно считать доказанным, значит, и правило сложения отрицательных чисел мы тоже доказали.

Задачи на сложение отрицательных чисел

Во втором параграфе мы возьмем конкретные задачи, где нужно складывать отрицательные числа, и попробуем применить в них изученное правило.

Найдите сумму двух отрицательных чисел — 304 и — 18 007 .

Решение

Выполним действия пошагово. Сначала нам надо найти модули складываемых чисел: — 304 = 304 , — 180007 = 180007 . Далее нам нужно выполнить действие сложения, для чего мы используем метод подсчета столбиком:



Все, что нам осталось, – это поставить минус перед результатом и получить — 18 311 .

Ответ: — — 18 311 .

От того, какие у нас числа, зависит, к чему мы можем свести действие сложения: к нахождению суммы натуральных чисел, к сложению обыкновенных или десятичных дробей. Разберем задачу с такими числами.

Найдите сумму двух отрицательных чисел — 2 5 и − 4 , (12) .

Находим модули искомых чисел и получаем 2 5 и 4 , (12) . У нас получились две разные дроби. Сведем задачу к сложению двух обыкновенных дробей, для чего представим периодическую дробь в виде обыкновенной:

4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

В итоге мы получили дробь, которую будет легко сложить с первым исходным слагаемым (если вы забыли, как правильно складывать дроби с разными знаменателями, повторите соответствующий материал).

2 5 + 136 33 = 2 · 33 5 · 33 + 136 · 5 33 · 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

В итоге мы получили смешанное число, перед которым нам осталось только поставить минус. На этом расчеты завершены.

Ответ: — 4 86 105 .

Действительные отрицательные числа складываются аналогичным образом. Результат такого действия принято записывать числовым выражением. Его значение можно и не вычислять или ограничиться примерными расчетами. Так, к примеру, если нам надо найти сумму — 3 + (− 5) , то ответ мы записываем как — 3 − 5 . Сложению действительных чисел мы посвятили отдельный материал, в котором можно найти и другие примеры.




В этой статье мы разберем, как выполняется вычитание отрицательных чисел из произвольных чисел. Здесь мы дадим правило вычитания отрицательных чисел, и рассмотрим примеры применения этого правила.

Навигация по странице.

Правило вычитания отрицательных чисел

Имеет место следующее правило вычитания отрицательных чисел : чтобы из числа a вычесть отрицательное число b , нужно к уменьшаемому a прибавить число −b , противоположное вычитаемому b .

В буквенном виде правило вычитания отрицательного числа b из произвольного числа a выглядит так: a−b=a+(−b) .

Докажем справедливость данного правила вычитания чисел.

Для начала напомним смысл вычитания чисел a и b . Найти разность чисел a и b - это значит найти такое число с , сумма которого с числом b равна a (смотрите связь вычитания со сложением). То есть, если найдено число с такое, что c+b=a , то разность a−b равна c .

Таким образом, чтобы доказать озвученное правило вычитания, достаточно показать, что прибавление к сумме a+(−b) числа b даст число a . Чтобы это показать, обратимся к свойствам действий с действительными числами . В силу сочетательного свойства сложения справедливо равенство (a+(−b))+b=a+((−b)+b) . Так как сумма противоположных чисел равна нулю, то a+((−b)+b)=a+0 , а сумма a+0 равна a , так как прибавление нуля не изменяет число. Таким образом, доказано равенство a−b=a+(−b) , а значит, доказана и справедливость приведенного правила вычитания отрицательных чисел.

Мы доказали данное правило для действительных чисел a и b . Однако, это правило справедливо и для любых рациональных чисел a и b , а также для любых целых чисел a и b , так как действия с рациональными и целыми числами тоже обладают свойствами, которые мы использовали при доказательстве. Отметим, что с помощью разобранного правила можно выполнять вычитание отрицательного числа как из положительного числа, так и из отрицательного числа, а также из нуля.

Осталось рассмотреть, как выполняется вычитание отрицательных чисел с помощью разобранного правила.

Примеры вычитания отрицательных чисел

Рассмотрим примеры вычитания отрицательных чисел . Начнем с решения простого примера, чтобы разобраться со всеми тонкостями процесса, не утруждаясь вычислениями.

Пример.

Отнимите от отрицательного числа −13 отрицательное число −7 .

Решение.

Числом, противоположным вычитаемому −7 , является число 7 . Тогда по правилу вычитания отрицательных чисел имеем (−13)−(−7)=(−13)+7 . Осталось выполнить сложение чисел с разными знаками , получаем (−13)+7=−(13−7)=−6 .

Вот все решение: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .

Ответ:

(−13)−(−7)=−6 .

Вычитание дробных отрицательных чисел можно выполнить, осуществив переход к соответствующим обыкновенным дробям , смешанным числам или десятичным дробям . Здесь стоит отталкиваться от того, с какими числами удобнее работать.

Пример.

Выполните вычитание из числа 3,4 отрицательного числа .

Решение.

Применив правило вычитания отрицательных чисел, имеем . Теперь заменим десятичную дробь 3,4 смешанным числом: (смотрите перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби), получаем . Осталось выполнить сложение смешанных чисел : .

На этом вычитание отрицательного числа из числа 3,4 завершено. Приведем краткую запись решения: .

Ответ:

.

Пример.

Отнимите отрицательное число −0,(326) от нуля.

Решение.

По правилу вычитания отрицательных чисел имеем 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . Последний переход справедлив в силу свойства сложения числа с нулем.

На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.

Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.

Сложение чисел с разными знаками

Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.

• Возьмем модули обоих чисел - |a| и |b| - и сравним эти абсолютные значения между собой.
• Отметим, какой из модулей больше, а какой меньше, и вычтем из большего значения меньшее.
• Поставим перед получившимся числом знак того числа, модуль которого больше.

Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» - а решение получается со знаком «плюс».

Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться - речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.

Вычитание чисел с разными знаками

Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое - и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.

Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» - произвольного, то есть с любым знаком - отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:

• Если «а» - положительное число, а «с» - отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
• Если «а» - отрицательное число, а «с» - положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а)– с = - а+ (-с).

Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками - к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.